утверждает, что
Y допускает распечатку, а
Y говорит нам о том, что
Z не допускает распечатки. Что же касается
Z, то оно утверждает, что допускает распечатку ассоциат утверждения
P‒NP‒РА; но ассоциат
P‒NP‒РА есть утверждение
P‒NP‒РА‒P‒NP‒РА, которое в свою очередь и есть
X! Итак,
Z утверждает, что
X допускает распечатку.
Таким образом, X утверждает, что Y допускает распечатку, Y утверждает, что Z не допускает распечатки, a Z утверждает, что распечатку допускает X. Посмотрим теперь, что же из этого следует.
Предположим, что Z допускает распечатку. Тогда Z истинно, откуда следует, что X допускает распечатку, а значит, является истинным; это в свою очередь означает, что Y допускает распечатку и, следовательно, является истинным. Если же Y истинно, то, стало быть, Z не должно допускать распечатки. Таким образом, мы приходим к противоречию: если Z допускает распечатку, то оно ее не допускает. Значит, Z не допускает распечатки, и поэтому Y является истинным. Итак, нам известно, что:
(1) Z не допускает распечатки;
(2) Y истинно.
Далее, X может быть либо истинным, либо ложным. Предположим, что X истинно. Если Z ложно, то тогда X не допускает распечатки, а это означает, что X истинно, но не допускает распечатки. Если же Z истинно, то тогда, поскольку, согласно (1), оно не допускает распечатки, Z истинно, но не допускает распечатки. Итак, если X истинно, то либо X, либо Z истинно, но не допускает распечатки. Если же X ложно, тогда Y не допускает распечатки и, следовательно, Y истинно — согласно (2) — и не допускает распечатки.
Итак: если X истинно, то по крайней мере одно из двух утверждений X и Z является истинным, но не допускающим распечатки. Если же X ложно, то истинным, но не допускающим распечатки, оказывается утверждение Y.
4. Пусть S есть утверждение вида RA‒RA. Оно говорит нам о том, что ассоциат выражения RA (а ассоциат RA есть само S!) является опровержимым; следовательно, S истинно в том и только том случае, когда S опровержимо. Поскольку S не может быть одновременно и истинным и опровержимым, значит оно ложно, но неопровержимо.
5. а) Выберем в качестве X утверждение P‒RA‒P‒RA, а в качестве Y — утверждение RA‒P‒RA. Ясно, что X утверждает доказуемость Y, а Y утверждает опровержимость ассоциата выражения P‒RA (ассоциат P‒RA есть в данном случае просто само X). Итак, X утверждает, что Y доказуемо, а Y утверждает, что X опровержимо. (Другой вариант решения — принять за X утверждение РА‒R‒РА, а за Y — утверждение R‒РА‒R‒РА.)
Далее, если Y доказуемо, то Y истинно, откуда следует, что