9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве Y число 332A33. Это число порождает двойной ассоциат числа АЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A332A33. Но число A332A33 и есть АY; следовательно, число Y порождает ассоциат числа АY.
Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число Y, которое порождало бы ассоциат числа 56Y), решением будет число Y = 3325633.
10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.
Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)
11. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A333. При этом ассоциатом числа А333 оказывается число А3332АЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.
В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.
12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3N порождает число 3N.)
13. Ответ: N = 22.
14. Ответ: N = 232.
15. Конечно, N = 2.
16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.
17. Да; например, N = 32.
18. Положить N = 33.
19. Положить N = 32323.
20. Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N2. (Например, если N — число вида 332X, и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4h + 3, в то время как само число N2 имеет длину h + 4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида 2X, поскольку если и существует некое число N, которое порождает число N2, то оно обязательно должно быть вида 32X. Далее, число 32X порождает число Х2X, тогда как нам требуется получить число 32X2. Если X2X представляет собой то же самое число, что и 32X2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2h + 1 = h + 3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32