то есть при любом операционном числе
M число
M2
Z порождает число
M(Z). Собственно говоря, мы даже могли бы определить
M(Z) как число, порождаемое числом
M2
Z.— Это все понятно, — сказал Мак-Каллох.
— Прекрасно, — сказал Крейг, — однако этот факт легко забывается, поэтому разреши мне повторить его еще раз, с тем чтобы он хорошенько отложился у тебя в голове.
Итак, утверждение 1: для любого операционного числа M и для любых чисел Y и Z, если число Y порождает число Z, число МY порождает число M(Z). В частности, число M2Z порождает число M(Z).
— Отсюда, — продолжал Крейг, — а также из того факта, который ты обнаружил для своей первой машины и который справедлив и для нынешней, очевидно следует, что для любого заданного операционного числа M должно существовать некое число X, порождающее М(X), — то есть в данном случае число X порождает результат применения операции M к числу X. При этом, зная число M, такое X можно легко найти с помощью простого и вполне общего правила.
20. Итак, Крейг открыл важное правило, которое мы в дальнейшем будем называть принципом Крейга, а именно: для любого операционного числа M всегда существует некоторое число X, такое, что оно порождает М(X). Как же доказать принцип Крейга и как при заданном числе M найти число X? Например, какое число X порождает 543(X)? Или какое число X порождает повторение обращения ассоциата X? Или, наконец, какое X порождает ассоциат повторения обращения X — то есть какое X порождает 354(X)?
— Я приготовил для тебя еще несколько задачек, — сказал Мак-Каллох, — однако сегодня уже поздно. Оставайся-ка ночевать у меня. А завтра мы с тобой поговорим подробнее.
У Крейга как раз было несколько свободных дней, и поэтому он с удовольствием принял приглашение Мак-Каллоха.
Некоторые варианты принципа Крейга
Наутро после плотного завтрака — а хозяин оказался человеком очень гостеприимным — Мак-Каллох предложил Крейгу следующие задачи.
21. Найти число X, которое порождает число 7X7X.
22. Найти число X, которое порождает обращение числа 9X.
23. Найти число X, которое порождает ассоциат числа 89X.
— Очень мило! — воскликнул Крейг, после того как покончил с решением последней задачи. — Ни одну из их задач нельзя решить с помощью того принципа, о котором я тебе рассказывал вчера.
— Вот именно! — рассмеялся Мак-Каллох.
— И все-таки, — возразил Крейг, — решение всех грех задач подчиняется некой общей идее: во-первых, конкретные числа 7, 5 и 89 не играют никакой роли; для любого данного числа А существует определенное число X, которое порождает повторение числа