которая родственна самой себе? Именно на этот вопрос Крейг и не мог ответить до тех пор, пока судьба не столкнула его с третьей машиной Мак-Каллоха.
Оказывается, задача нахождения комбинации, которая, согласно условию Фаркуса, является родственной самой себе, по своей сути тождественна задаче нахождения числа, которое порождает само себя в последней машине Мак-Каллоха. Единственное существенное отличие заключается в том, что кодовые комбинации для замка — это цепочки букв, тогда как числовые машины работают с цепочками цифр. Однако первую задачу можно легко преобразовать ко второй, и наоборот, следующим простым приемом.
Во-первых, мы рассматриваем лишь комбинации из букв Q, L, V, R (совершенно очевидно, что только эти буквы играют в задаче существенную роль). Предположим теперь, что вместо этих букв мы будем использовать собственно цифры 2, 6, 4, 5 (то есть 2 вместо Q, 6 вместо L, 4 вместо V и 5 вместо R). Для удобства запишем это так:
Теперь посмотрим, какой вид примут первые четыре условия Фаркуса, если мы запишем их не в буквах, а в цифрах.
(1). Для любого числа X число 2X2 является родственным числу X.
(2). Если число X родственно числу Y, то число 6X оказывается родственным числу 2Y.
(3). Если число X родственно числу Y, то число 4X родственно числу Y⃖.
(4). Если число X родственно числу Y, то число 5X родственно числу YY.
Сразу видно, что это — точно те же правила, которым подчиняется последняя машина Мак-Каллоха, с той лишь разницей, что вместо слова «порождает» используется слово «родственно». (Конечно, я мог бы воспользоваться словом «порождает» и в гл. 8, где речь шла об условиях Фаркуса, но тогда читателю было бы слишком уж легко обо всем догадаться!)
Позвольте мне сказать это еще раз и поточнее. Для любой комбинации х, состоящей из букв Q, L, V, R, мы будем обозначать через х число, которое получается при замене Q на цифру 2, L на цифру 6, V на цифру 4 и R на цифру 5. Например, если это комбинация вида VQRLQ, то х — число 42562. При этом мы будем называть число х кодовым номером комбинации х. (Кстати, идея приписывания логическим высказываниям специальных чисел — так называемых «гёделевых номеров» — принадлежит известному логику Курту Гёделю и известна под названием гёделевой нумерации. Она очень важна, как мы увидим в IV части нашей книги.)
Значит, мы можем окончательно сформулировать главную мысль последнего абзаца в таком виде: для любых комбинаций х и у, составленных из четырех букв Q, L, V, R, если, исходя из правил MI, MII, MIII и MIV, используемых в последней машине Мак-Каллоха, можно показать, что число