Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 51
Во-вторых, запретим при построениях проводить на земле какие-либо дуги вообще - большие или маленькие. Поэтому фактически циркуля у нас нет. Все, что остается от циркуля,- это способность откладывать на данных (проложенных) прямых конкретные расстояния, которые должны быть заданы не численно, а с помощью двух точек, уже обозначенных колышками где-то на местности. Ведь сами расстояния будут измеряться шагами, ступнями, пальцами рук или любыми подходящими для этой цели предметами (в лучшем случае измерительными приборами). Так что отложить расстояние, составленное, скажем, из 25 шагов, 3 размахов пальцев и 2 спичечных коробок, можно лишь в таком же виде, но никак не умноженное, к примеру, на >3/>4 или на √2.
При указанных двух ограничениях, не пользуясь к тому же транспортиром, работать, конечно, трудно, но все же попробуйте решить предложенные ниже задачи!
9.1. Проложить прямую На местности колышками обозначены две удаленные друг от друга точки. Как проложить через них прямую и, в частности, как можно без помощника устанавливать колышки на прямой между данными точками?
9.2. Точка пересечения прямых На местности колышками обозначены две точки одной прямой и две точки другой прямой. Как найти точку пересечения этих прямых?
9.3. Симметрия относительно точки На местности обозначены точки A и В. Найдите точку С, симметричную точке A относительно точки В.
9.4. Параллельная прямая На местности обозначены три данные точки A, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку A проложите прямую, параллельную прямой ВС.
9.5. Середина отрезка Найдите середину отрезка AВ, заданного на местности двумя точками A и В.
9.6. В данном отношении Отрезок, заданный на местности двумя точками A и В, требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков KL и MN, заданных на местности точками К, L и М, N. Как это сделать?
9.7. Биссектриса угла На местности обозначены три точки A, М и N, не лежащие на одной прямой. Проложите биссектрису угла MAN.
9.8. Перпендикуляр к прямой Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки A и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через данную точку Я?
9.9. Под заданным углом На местности обозначены точки A и В. Найдите точки С, D и В, для которых выполнены равенства ∠ ВAС = 45°, ∠ BAD = 60° ∠ ВAE = 30°.
Решения
9.1. Пользуясь зрительным эффектом состоящим в загораживании двух колышков третьим, стоящим на общей с ними прямой, нетрудно установить еще один колышек в некоторой точке С на продолжении отрезка с концами в двух данных точках A и В. После этого точки отрезка АВ можно построить с помощью того же эффекта, поскольку они будут лежать на продолжении либо отрезка АС, либо ВС (в зависимости от того, какая из точек - А или В - находится ближе к точке С). Вообще, любая точка прямой АВ будет лежать на продолжении хотя бы одного из отрезков АВ, АС или ВС.