Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 70

Пусть магистрали образуют остроугольный треугольник ABC, а на сторонах АВ, АС и ВС автобус имеет выезды в точках D, Е и F (рис. 40). Построим точки G и Н, симметричные точке D относительно сторон АС и ВС соответственно. Тогда длина ломаной DFED равна длине прямой GEFH и является наименьшей (при фиксированной точке D, а с ней и фиксированных точках G и Н), если точки Е и F лежат на прямой GH. Наконец, для нахождения точки D, при которой отрезок GH имеет наименьшую длину, заметим, что угол GCH вдвое больше фиксированного угла АСВ, так как

Рис. 40

Поэтому основание GH равнобедренного (GC = HC) треугольника GCH имеет наименьшую длину, когда его боковая сторона GC минимальна. А эта ситуация в свою очередь реализуется, когда точка G, лежащая на отрезке, симметричном отрезку А В относительно прямой АС, является основанием перпендикуляра CG к этому отрезку, т. е. когда CD - тоже перпендикуляр к стороне АВ. Итак, доказано, что точка D выезда автобуса к магистрали АВ должна быть основанием высоты треугольника ABC. Аналогично доказывается, что и другие точки Е и F также должны быть основаниями высот этого треугольника.

12.17. Пусть населенные пункты обозначены через А, В, С, а искомая точка расположения завода - через D. Повернем треугольник ACD на угол 60° вокруг точки А в направлении полуплоскости, не содержащей точку В (рис.41). Получим треугольник AEF, удовлетворяющий равенствам

EF = CD, FD = AD,

так как треугольники ACD и AEF равны, а треугольник FD является равносторонним (AF = AD и ∠DAF = 60°).

Рис. 41

Сумма расстояний от точки D до точек A, В и С равна длине ломаной BDFE и, следовательно, не может оказаться меньше отрезка BE. Поэтому наименьшее значение указанной суммы будет равно длине отрезка BE, но при условии, что точку D можно подобрать так, чтобы и сама эта точка, и точка F, полученная в результате поворота, оказались лежащими на отрезке BE. Для построения такой точки достаточно провести перпендикуляр АН к отрезку BE и отложить от него угол HAD величиной 30° в направлении точки В (рис. 42). Докажите самостоятельно, что каждый из углов ADB, BDC и ADC, под которыми видны стороны треугольника ABC из искомой точки D, равен 120°.

Рис. 42

12.18. Под углом к магистрали, косинус которого равен ^>1/_>k, проведем луч из города А в той полуплоскости, которая не содержит населенного пункта В (рис. 43). Тогда для любой точки С магистрали, ст которой предполагается отвести проселочную дорогу СВ, имеем, что время движения транспорта по участку СА магистрали будет равно времени движения по проселочной дороге CD, перпендикулярной проведенному ранее лучу (скорости на участках ВС и CD считаем равными). Следовательно, общее время движения по ломаной ВСА пропорционально длине ломаной BCD. Так как кратчайшая такая ломаная совпадает с перпендикуляром к лучу, опущенным из точки В, то на этом перпендикуляре как раз и лежит искомая точка магистрали. Заметим, что точка В, возможно, и не проектируется на луч AD (а проектируется на его продолжение), тогда проселочную дорогу следует отвести прямо от города А.