Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 38
Какой бы ни была причина, визи-мат предлагает альтернативу. Начнем с возведения в квадрат, умножения х на х.
Производная, как вы, возможно, помните, – мгновенный уровень изменения. Следовательно, необходимо задать вопрос: «Если мы немного изменим х, на сколько изменится х>2?»
Так давайте пойдем вперед и немного увеличим х, назвав это dx.
Рост х>2 происходит в трех областях: двух длинных, тонких прямоугольниках (каждый х увеличивается на dx) и в крошечном квадратике в углу (dx на dx).
Здесь мы остановимся, чтобы порассуждать о природе миниатюрности. Примерно так: вот это маленькое, а это просто крошечное. Скажем х = 1, а dx = 1/100. Это достаточно мало, верно? Конечно, но (dx)>2 в сотню раз меньше: всего лишь 1/10 000. Это такое крошечное значение, что предыдущее по сравнению с ним выглядит огромным.
А если dx еще меньше, например 1/1 000 000? Тогда (dx)>2 в миллион раз меньше и равняется только 1/1 000 000 000 000. Это новый уровень миниатюрности.
Что же представляет собой dx в действительности? Это стремящаяся к нулю величина меньше любого известного числа. (Джон Валлис, изобретатель значка бесконечности, записывал бесконечно малые величины как 1/∞, хотя ваш учитель может рассердиться из-за такого обозначения.) Так что (dx)>2 не просто в сотню или миллион раз меньше, оно бесконечно меньше, это бесконечно малое от бесконечно малого. Оно с таким же успехом могло бы быть нулем.
Так на много ли вырастет х>2? Если игнорировать пренебрежимо малое (dx)>2, он вырастет на два прямоугольника – один по ширине, другой по высоте.
Следовательно, производная равна 2х.
Вернемся в гостиную будущего. Оона находит демонстрацию захватывающей.
Так вот что они имели в виду, когда говорили о возведении числа в квадрат! Не просто умножение его на себя самого или что там Джик говорил, но превращение числа в самый настоящий квадрат… Тогда математика – это не просто набор цифр, букв и глупостей. Она что-то значит, а математическое выражение, как предложение, о чем-то говорит.
Возбужденная Оона погрузилась в следующий демонстрационный пример визи-мата. Как может с зевком или всхлипом подтвердить любой студент-математик, производная х>3 – это 3х>2. У Ооны – и у меня, и у моих студентов, и, черт побери, у любого человека, который когда-либо подвергался алгебраической пытке вроде той, которую устроил ведомый благими намерениями Джик, – возникает один вопрос: «Почему?»
Визи-мат знает. Если х>2 дает нам квадрат, то х>3 – куб.
Опять же, позволим х вырасти на небольшую величину dx и понаблюдаем: каждая сторона куба тоже увеличивается.