Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта (Паршаков) - страница 2
Выше я привел пример с а=2.5, значения b и с были соответственно 2.625 и 3.625, если предположить, что число 20 это производная числа 2.5, то получится коэффициент равный 8, и следовательно числа 20,21,29 не являются взаимно простыми. Проверим это предположение
Коэффициент кратности исходного уравнения совпадает с разностью между «b» и «с». Чтобы выяснить совпадение это или закономерность, проверим другую тройку 15,36,39. Разница между «b» и «с» составляет 3
Пример № 5
Получилась уже известная тройка 5,12,13, то есть удовлетворяющая условиям исходного или первичного алгоритма, что и требовалось подтвердить.
Остается еще один вопрос. При возведении числа в квадрат не важно, с каким знаком: плюсом или минусом, результат все равно будет иметь положительное значение. Это важно для подтверждения правильности алгоритма. В примере 3, число «b» имеет отрицательное значение, но если поменять знак ничего не изменится, и результат останется прежним. Если поменять знак числа b с минуса на плюс, разница между b и с, уменьшится в 9 раз
Пример № 6
Исходя из вышеизложенного, можно предположить, что разница является коэффициентом кратности исходного уравнения. Для проверки этого предположения нужно разделить числа тройки на получившийся коэффициент.
И вновь получилась уже известная тройка 3,4,5.
На основании полученных результатов, можно записать алгоритм кратности
Осталось объединить получившиеся алгоритмы в один универсальный.
Теперь можно вычислять абсолютно все пифагоровы тройки, зная или задавая значение любого одного числа из тройки и задавая кратность уравнению.
Задача № 1
Найти значения чисел «а» и «b» в уравнении
Условия задачи
Дано:
Значение числа «с»=161
Коэффициент кратности уравнения «k»=7
Воспользуемся формулами универсального алгоритма
Проверим получившийся результат
Задача решена, числа найдены.
Задача № 2
Требуется найти натуральные значения чисел «b» и «с» для уравнения
Условия задачи
Дано: 
Воспользуемся формулами, для нахождения исходных «троек»
Подставим числа в формулу
Теперь нужно привести все числа к общему знаменателю
Остается воспользоваться формулой кратности 
Проверяем
Задача решена, числа найдены.
Из этой задачи видно, что знаменатель нужно помножить на числитель. Поэтому можно создать следующий алгоритм для произвольных «k» и «а».
Проверим действие этого алгоритма
Пример № 7
Алгоритм работает. Для генерации пифагоровых троек можно использовать как универсальный алгоритм, так упрошенный.
Для чисел кратным 4-ем существует еще один алгоритм. Его можно использовать для упрощенного нахождения пифагоровых троек.