Заметим, что если воспользоваться решением задачи 260, то эту задачу можно решить проще. Действительно, если бы в общине не было тайных агентов, то подозрительные ничем бы не отличались от неноминабельных, поэтому множество подозрительных обладало бы всеми свойствами множества неноминабельных членов общины. Значит, все неноминабельные члены общины являлись бы членами одного клуба. Но в задаче 260 мы доказали, что все неноминабельные члены общины не могут являться членами одного клуба. Следовательно, предположение о том, что в общине нет тайных агентов, приводит к противоречию. Значит, в общине непременно должен быть тайный агент (хотя мы и не знаем, кто он).
На этих двух доказательствах отчетливо видно различие между так называемыми конструктивным и неконструктивным доказательствами. Второе доказательство неконструктивно: мы приходим к заключению, что в общине не может не быть тайных агентов, но из доказательства не следует, кто эти тайные агенты. В отличие от него первое доказательство конструктивно: оно позволяет установить, кто тайный агент (член общины по имени Джон), в честь которого назван клуб подозрительных.
262. Задача о Вселенной
В одной Вселенной члены каждого множества обитателей состоят в своем особом клубе. Регистратор этой Вселенной хотел бы присвоить каждому клубу имя одного из обитателей так, чтобы никакие два клуба не были названы в честь одного и того же обитателя Вселенной и у каждого обитателя был клуб, названный его именем.
Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было только 5 обитателей, то число клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с п обитателями число клубов составляло бы 2». Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?
Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не является членом клуба, названного в его честь. Все неноминабельные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).