В отличие от только что приведенного доказательства наше первое доказательство позволяет установить дополнительные подробности: всякий, кто утверждает, что он непризнанный рыцарь, должен быть непризнанным рыцарем, а всякий, кто утверждает, что он отъявленный лжец, должен быть неотъявленным лжецом.
2. Доказывая, что все лжецы не являются членами одного клуба, мы использовали только условие G. Условия E>1, Е>2 и С нам не понадобились. Значит, из одного лишь условия G следует, что все лжецы не являются членами одного клуба. Более того, условие G эквивалентно утверждению, что все лжецы не являются членами одного клуба. Действительно, будем считать известным, что все лжецы не являются членами одного клуба. Тогда условие G можно вывести следующим образом.
Выберем любой клуб С. Так как все лжецы не является членами одного клуба, то С не множество всех лжецов. Следовательно, либо членом клуба С является какой-нибудь рыцарь, либо какой-нибудь лжец не является членом клуба С. Если какой-нибудь рыцарь является членом клуба С, то он заведомо утверждает, что является членом этого клуба (так как он всегда говорит только правду). Если бы какой-нибудь лжец не являлся членом клуба С, то он утверждал бы, что является членом этого клуба (так как он лжет). Следовательно, и в том и в другом случае кто-нибудь утверждает, что является членом клуба С.
265. Гёделевы острова в общем и целом
Рассмотрим теперь любой остров, населенный рыцарями и лжецами, на котором имеются клубы. Предполагается, что, кроме рыцарей и лжецов, на острове нет других обитателей. Назовем остров гёделевым, если выполняется условие G, то есть если для любого клуба С найдется по крайней мере один островитянин, утверждающий, что является членом этого клуба.
Как-то раз инспектор Крэг посетил такой остров, населенный рыцарями и лжецами, являющимися членами клубов. Крэгу (человеку с необычайно широким кругом интересов, теоретические познания которого не уступают его практической сметке) захотелось узнать, находится ли он на гёделевом острове. Ему удалось собрать следующие сведения.
Каждый клуб носит имя одного из островитян, и у каждого островитянина есть клуб, названный его именем. Островитянин не обязательно является членом клуба, носящего его имя. Островитянина, который является членом клуба, названного в его честь, называют номинабельным. Островитянина, который не является членом клуба, названного его именем, называют неноминабельным. Об островитянине X говорят, что он друг островитянина Y, если X подтверждает номинабельность островитянина Y.