Крэг не знал, находится ли он на гёделевом острове, до тех пор, пока не обнаружил, что культурная жизнь на острове удовлетворяет некоторому условию, которое мы назовем условием Н.
Н: Для любого клуба С существует другой клуб D, такой, что у каждого члена клуба D по крайней мере один друг является членом клуба С, а у каждого не члена клуба D по крайней мере один друг не является членом клуба С.
Из условия Н Крэг вывел заключение относительно того, гёделев ли тот остров, на котором он находился. К какому заключению пришел инспектор Крэг?
Решение. Остров гёделев. Выберем любой клуб С. Пусть D – клуб, заданный условием Н. Клуб D носит имя какого-нибудь островитянина, например островитянина по имени Джон. Сам Джон либо является, либо не является членом клуба D.
Предположим, что Джон является членом клуба D. Тогда у него есть друг (назовем его Джек) в клубе С, который подтверждает, что Джон номинабелен. Поскольку Джон не является членом клуба D, то Джон действительно номинабелен. Значит, Джек рыцарь. Следовательно, Джек рыцарь и является членом клуба С, поэтому Джек утверждает, что является членом клуба С.
Предположим, что Джон не является членом клуба D. Тогда у Джона есть друг (назовем его Джим), не состоящий в клубе С и подтверждающий, что Джон номинабелен. Поскольку Джон не является в клубе D, то Джон в действительности неноминабелен. Значит, Джим лжец. Итак, Джим лжец и не является членом клуба С, поэтому Джим солгал бы и утверждал бы, что является членом клуба С. Следовательно, независимо от того, является или не является Джон членом клуба D, существует островитянин, утверждающий, что он является членом клуба С.
Примечание. Объединяя решения задач 264 и 265, можно утверждать, что на любом острове, удовлетворяющем условиям Е>1, Е>2, С и Н, заведомо найдется непризнанный рыцарь и неотъявленный лжец. Этот результат в действительности представляет собой замаскированную форму знаменитой теоремы Гёделя о неполноте, к которой мы еще вернемся в разделе В этой главы.
Если вы хотите предложить одному из ваших друзей действительно трудную задачу, задайте ему задачу 264 для острова, удовлетворяющего условиям Е>1, Е>2, С и Н (об условии G пока умолчите). Выведет ли ваш приятель самостоятельно условие G?
Б. ДВАЖДЫ ГЁДЕЛЕВЫ ОСТРОВА
Задачи этого раздела представляют более специальный интерес, и ознакомление с ними можно отложить до прочтения раздела В.
Под дважды гёделевыми островами мы будем понимать острова рыцарей и лжецов, объединенные в клубы, удовлетворяющие условию CG.
CG: для любых двух клубов С