, С
>2 найдутся островитяне А, В, о которых известно следующее: А утверждает, что В является членом клуба С
>1, а В утверждает, что А является членом клуба С
>2.
Насколько мне известно, из условия CG не следует условие G, а из условия G не следует условие CG. Оба условия выглядят совершенно независимыми, поэтому (насколько мне известно) дважды гёделевы острова не обязательно должны быть гёделевыми островами.
Изучение дважды гёделевых островов – мой конек. Задачи, связанные с ними, имеют такое же отношение к парадоксу Журдэна с двусторонней карточкой (см. задачу 254 в предыдущей главе), какое задачи о гёделевых островах имеют к парадоксу лжецов.
266. Дважды гёделев остров S
Однажды мне посчастливилось открыть дважды гёделев остров S, для которого выполняются условия Е>1, Е>2 и С острова G.
а) Можно ли определить, найдется ли на острове S хоть один непризнанный рыцарь? Что можно сказать о неотъявленном лжеце?
б) Можно ли установить, состоят ли рыцари острова S членами одного клуба? А лжецы?
Решение. Начнем со второй части задачи. Если все рыцари острова являются членами одного клуба, то (по условию С) все лжецы также являются членами одного клуба, а если все лжецы острова S являются членами одного клуба, то (в силу того же условия С) рыцари также являются членами одного клуба. Следовательно, если представители одной из двух групп населения острова (либо рыцари, либо лжецы) являются членами одного клуба, то представители каждой из двух групп являются членами одного клуба. Итак, предположим, что все рыцари являются членами одного клуба и что все лжецы состоят членами одного клуба. Тогда по условию CG должны найтись островитяне А, В, высказывающие следующие утверждения:
А: В – лжец.
В: А – рыцарь.
Как показано в решении задачи 259 в предыдущей главе, это невозможно. Следовательно, все рыцари не могут являться членами одного клуба, и все лжецы не могут являться членами одного клуба.
Что касается первой половины задачи, то ее можно решить двумя способами. Первый из них проще того способа, которым мы только что решили вторую часть задачи, зато второй способ более поучительный.
Первый способ. Так как все рыцари не являются членами одного клуба, а все признанные рыцари являются членами одного клуба, то множество всех рыцарей не совпадает с множеством всех признанных рыцарей. Следовательно, не все рыцари признанные. Аналогично не все лжецы отъявленные.
Второй способ. Так как все признанные рыцари являются членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие к числу признанных рыцарей, также являются членами одного клуба. Если эти клубы выбрать в качестве клубов C