Альтернативное (и более интересное) доказательство того, что непременно найдется непризнанный рыцарь или неотъявленный лжец, состоит в следующем.
Так как признанные рыцари состоят в одном клубе и отъявленные лжецы состоят в одном клубе, то найдутся островитяне А, В, высказывающие следующие утверждения:
А: В – отъявленный лжец.
В: А – признанный рыцарь.
Предположим, что А – рыцарь. Тогда его утверждение истинно. Значит, В – отъявленный лжец, поэтому его утверждение ложно. Следовательно, А – непризнанный рыцарь. Значит, А – не признанный рыцарь. Если же А – лжец, то высказанное В утверждение ложно, поэтому В – лжец. Высказанное А утверждение также ложно, поэтому В – неотъявленный лжец. Следовательно, В – отъявленный лжец.
Итак, либо А – не признанный рыцарь, либо В – не отъявленный лжец (но мы опять не знаем, какая из двух альтернатив истинна).
Эта задача очень напоминает одну из задач о парах шкатулок (задачу 136 из гл. 9), в которой одна из двух шкатулок (какая именно – неизвестно) изготовлена либо Беллини, либо Челлини (но кем именно – опять-таки неизвестно).
268. Несколько нерешенных задач
Я придумал несколько задач о гёделевых и дважды гёделевых островах, но решить их так и не собрался. Думаю, что читателю будет приятно испробовать свои силы на работе, сулящей неожиданности и, быть может, даже открытия.
268а
Я уже говорил о том, что, насколько мне известно, ни одно из условий G, CG не следует из другого. Удастся ли вам доказать (или опровергнуть, что я считаю маловероятным) мою гипотезу? Для этого вам необходимо «построить» остров, для которого выполняется условие G, но не выполняется условие CG, а также остров, для которого выполняется условие CG, но не выполняется условие G. Построить остров означает в данном случае указать, кем он населен, кто из его обитателей рыцари и кто лжецы, какие обитатели являются и какие не являются членами одного клуба. (Кто из рыцарей обладает правом называться признанным рыцарем и кого из лжецов следует называть отъявленными лжецами, для решения этой задачи значения не имеет.)
268б
Можете ли вы доказать (или опровергнуть) мою гипотезу о том, что на острове S>1 не обязательно должны быть непризнанные рыцари и неотъявленные лжецы (хотя непременно должны быть рыцари и лжецы)? Иначе говоря, можете ли вы построить остров, удовлетворяющий условиям Е>1, Е>2 и CG, на котором есть рыцари, но нет непризнанных рыцарей? Можете ли вы построить остров, на котором есть лжецы, но нет неотъявленных лжецов? (На этот раз при построении островов необходимо указать не только кто из его обитателей называется рыцарем или лжецом и состоит в том или ином клубе, но и указать, каких рыцарей следует считать признанными и каких лжецов – отъявленными.)