С: Для любого учтенного множества А множество >~А, состоящее из всех чисел, которые не принадлежат множеству А, – учтенное множество.
Н: Для любого учтенного множества А существует другое учтенное множество В, такое, что каждое число из В имеет сопряженное, принадлежащее А, и каждое число, не принадлежащее В, имеет сопряженное, не принадлежащее А.
Этих четырех условий достаточно, чтобы ответить на вопросы логика: «Каждое ли истинное высказывание доказуемо в его системе? Каждое ли ложное высказывание опровержимо в его системе?» Кроме того, можно определить, является ли множество номеров всех истинных высказываний учтенным множеством, а также является ли учтенным множеством множество номеров всех ложных высказываний.
Как это сделать?
Решение. Перед вами не что иное, как гёделев остров из раздела А, но в ином «одеянии». Номера истинных высказываний играют роль рыцарей, номерам ложных высказываний отведена роль лжецов, доказуемые высказывания соответствуют признанным рыцарям, опровержимые – отъявленным лжецам. Учтенные роли заменяют собой клубы. Понятие множества, записанного на странице с заданным номером, играет роль клуба, названного по имени одного из обитателей острова. Экстраординарные числа – это не что иное, как номинабельные члены общины, а сопряженные числа являются аналогами друзей.
Чтобы решить задачу, прежде всего необходимо доказать аналог условия G.
Условие G. Для любого учтенного множества А найдется высказывание, истинное в том и только в том случае, если его номер принадлежит А.
Чтобы доказать условие G, выберем любое учтенное множество А. Пусть В – множество, заданное условием Н, n – номер страницы, на котором записано В в «Книге множеств». По условию Н если число n принадлежит В, то у него имеется сопряженное число h, принадлежащее множеству А, а если n не принадлежит В, то у него есть сопряженное число h, не принадлежащее А. Мы утверждаем, что высказывание X на h-й странице и есть то самое высказывание, которое требуется найти.
Высказывание X утверждает, что n – экстраординарное число, то есть что n принадлежит множеству В (так как множество В занесено на n-ю страницу «Книги множеств»). Если X истинно, то число n действительно принадлежит множеству В. Следовательно, h принадлежит А. Итак, если X истинно, то его номер (число h) принадлежит множеству А. Предположим теперь, что X ложно. Тогда число n не принадлежит В. Следовательно, сопряженное число h не принадлежит А. Итак, X истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству А.