Парадокс состоит в следующем. Если это предложение ложно, то неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо, а это означает, что оно истинно. Итак, предположив, что это предложение ложно, мы пришли к противоречию. Значит, оно должно быть истинно.
А теперь будьте внимательны! Я доказал, что предложение, набранное курсивом, истинно. Но в истинном предложении говорится о том, что есть на самом деле. Значит, оно недоказуемо. Как же мне удалось доказать его?
Где ошибка в приведенных мною рассуждениях? Ошибка в том, что понятие доказуемого предложения не вполне определенно. Одна из основных задач важного раздела современной математики, известного под названием «математической логики», состоит в придании точного значения понятию доказательства. Вполне строгого универсального определения доказательства, применимого к любым математическим системам, пока не существует. В современной математической логике принято говорить о доказуемости в рамках данной системы. Предположим, что у нас имеется система (назовем ее системой S), в которой строго определено, что такое доказуемость в рамках системы S. Предположим также, что система S непротиворечива, то есть что всякое доказуемое в S предложение действительно истинно. Рассмотрим следующее предложение:
Это предложение недоказуемо в системе S.
Никакого парадокса теперь не возникает, хотя это предложение обладает одним довольно интересным свойством. Дело в том, что оно должно быть истинным, но недоказуемым в системе S. Оно представляет собой грубый аналог предложения X (содержащего утверждение о собственной недоказуемости не вообще, а в рамках системы S), построенного Гёделем в первоначальном варианте доказательства его знаменитой теоремы.
Несколько слов я хотел бы сказать о «дважды гёделевом» условии, которое мы анализировали в разделе Б. Дело в том, что полученный Гёделем результат справедлив не только для гёделевых систем (гёделевой я называю систему, в которой для любого определимого множества А найдется предложение, истинное в том и только в том случае, если его гёделев номер принадлежит А), но и для дважды гёделевых систем (дважды гёделевой я называю систему, в которой для любых определимых множеств А, В найдутся предложения X, Y, такие, что X истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения Y принадлежит A, a Y истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения X принадлежит В). Располагая дважды гёделевой системой, мы можем (используя условия E>1, Е>2 и С) построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости предложения Y (при этом я понимаю, что X истинно в том и только в том случае, если Y доказуемо), a Y будет содержать утверждение о недоказуемости предложения X. Одно из предложений (какое именно – неизвестно) X и Y должно быть истинно, но недоказуемо. Можно поступить иначе и построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение об опровержимости предложения Y, a Y будет содержать утверждение о неопровержимости предложения X. По крайней мере одно из предложений X, Y (какое именно – неизвестно) должно быть ложно, но неопровержимо. Возможен и еще один вариант. Не используя даже условие С, можно построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости Y, a Y – о неопровержимости X. Одно из них (какое именно – неизвестно) должно быть либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо (но каким именно набором из этих двух будет обладать предложение – неизвестно).