Следующий пример еще более причудлив:
Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2) Высказывание (2) означает всего-навсего: «Неверно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула». Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.
К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.
Рассмотрим теперь любые два высказывания Р, Q. Составим из них сложное высказывание:
Если Р, то Q. (3)
Будем обозначать его Р → Q (эту сокращенную запись принято читать либо как «если Р, то Q», либо как «из Р следует Q», либо «Р влечет за собой Q», либо даже «Р имплицирует Q»). Слово «следует» (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: неверно, что Р истинно и Q ложно. Итак, относительно высказывания Р → Q мы располагаем следующей информацией.
Факт 1. Если Р ложно, то Р → Q автоматически истинно.
Факт 2. Если Q истинно, то Р → Q автоматически истинно.
Факт 3. Высказывание Р → Q может быть ложно в том и только в том случае, если Р истинно, a Q ложно.
Факт 1 иногда формулируют иначе: «Из ложного высказывания следует что угодно». Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».
Таблица истинности
Если заданы два высказывания Р, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) Р и Q истинны; 2) Р истинно, Q ложно; 3) Р ложно, Q истинно; 4) Р и Q ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание Р → Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких – ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Случай 1: Р и Q истинны. Так как Q истинно, то Р → Q истинно (факт 2).
Случай 2: Р истинно, Q ложно. Тогда Р → Q ложно (факт 3).
Случай 3: Р ложно, Q истинно. Тогда Р → Q истинно (факт 1 или факт 2).
Случай 4: Р ложно, Q ложно. Тогда Р → Q истинно (факт 1).
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда Р истинно и Q истинно, высказывание Р → Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если Р истинно, Q ложно, то Р → Q ложно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке – что если Р ложно и Q ложно, то Р → Q истинно.