Заметим, что Р → Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если Р, то Q», достаточно, приняв высказывание Р за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки Р следует заключение Q, то высказывание «Если Р, то Q» истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.
А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ
109
О каждом из двух людей А и В известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что А высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то В – рыцарь».
Можно ли определить, кто такие А и В: кто из них рыцарь и кто лжец?
110
У А спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».
Докажите, что А придется съесть свою шляпу.
111
А утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два – четыре». Кто такой А: рыцарь или лжец?
112
А заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два – пять». Кто, по-вашему, А: рыцарь или лжец?
113
Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если В – рыцарь, то я лжец». Кто А и кто В?
114
Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, А и В выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
А: Если X виновен, то Y виновен.
В: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что А и В однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)
115
У трех обитателей А, В и С острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
А: В – рыцарь.
В: Если А – рыцарь, то С – рыцарь.
Можно ли определить, кто из А, В и С рыцарь и кто лжец?
Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА
116
Предположим, что следующие два высказывания истинны:
1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.
2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.
Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?
117
Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».
Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?
118
На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: «Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?» Я отвечаю: «Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда».