Фейнмановские лекции по физике 2 (Фейнман) - страница 55
I=I>ц+МR>2>ц.м. (19-7)
Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. I=Sm>i(x>2>i+y>2>i). Мы сейчас сосредоточим наше внимание на х, однако все в точности можно повторить и для у. Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х' от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать
x>i=x'>i+X>ц>.>м>..
Возводя это выражение в квадрат, находим
x>2>i=x'>2>i+2X>ц.>мх'>i+Х>2>ц>. >м>..
Что получится, если умножить его на m>iи просуммировать по всем i? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим
I>x=Sm>ix>i+2X>ц.>>м. Sm>ix>i+X>2>ц.>>м. Sm>i.
Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ>2>ц..м.. Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых Sm>ix>i; он равен x'-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х' отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от I>ц. Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).
Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен ML>2/3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии L/2. Таким образом, мы должны получить, что МL>2/3=МL>2/12+М(L/2)>2. Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.
Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине ML>2, умноженной на некоторый неизвестный коэффициент g. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент >1/>4g. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что g=>1/>4g+>1/>4, откуда g=>1/>3. Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!
При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось I>ц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.
Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью r, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей