Тайная жизнь чисел (Наварро) - страница 2

Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать!

Нильс Бор — Альберту Эйнштейну

Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопровождалось забавными, любопытными и даже анекдотичными случаями. Упомянуть их все или даже хотя бы самые известные из них — слишком обширная задача, так что мы остановились только на самых любопытных. Нашей единственной целью было показать читателю земную сторону математики, которую слишком часто считают наукой, недоступной простым смертным.

Паламед — персонаж древнегреческой мифологии, упоминаемый в легендах об Агамемноне и Ушссе — героях Троянской войны. Мы говорим о нем потому, что Платон иронично называет его создателем математики. По легенде, Паламед был создателем мер и весов, а также их концептуального выражения — числа. Он изобрел числа — что ни говори, не самое пустяковое открытие. Платон писал о предположительном существовании Паламеда с усмешкой: «Выходит, до того как Агамемнон поговорил с Паламедом, он не знал, сколько у него ног?» Непочтительный Платон был столь же острым на язык, как и его учитель, Сократ, которого даже приговорили к смерти за инакомыслие.

Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь, то дробь а/Ь будет мерой а. Иными словами, все, что можно измерить, имеет дробную меру, или, говоря современным языком, всякая мера эквивалентна рациональному числу и наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка — 20 см, то дробь 70/20 = 7/2 была мерой a, измеренной Ь. Так считали ученики пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до н. э.) обнаружил, что измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве меры его сторону, невозможно.

Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Если d = a/b, то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а/b. Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d^>2 = 1^>2 + 1^>2 = 1 + 1 = 2, то есть (а/b)^>2 = 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а^>2 = 2Ь^>2.

Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2р, предыдущее равенство примет вид (2р)^>2 = 4р^>2 = 2b^>2, следовательно, 2р^>2 = Ь^>2, откуда следует, что b^>2 (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.