— В книге XII описывается метод исчерпывания. Это название было в свое время предметом споров, но в итоге осталось в веках. С его помощью вычисляется площадь круга и объемы пирамиды, конуса и шара. Это сложная книга; труднейшие задачи, изложенные в ней, решил только гениальный Архимед. Ее основное содержание приписывается Евдоксу.
— В книге XIII описывается построение пяти Платоновых тел — тетраэдра, гексаэдра (или куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра — и доказывается, что существуют только они. Октаэдр и икосаэдр, построение которых, видимо, не рассматривалось пифагорейской школой, были построены Теэтетом в Академии.
Математика как наука началась, когда некто, возможно какой-то грек, сформулировал предложения о чем-то, не описывая никаких особенностей этого нечто.
Альфред Норт Уайтхэд (1861-1947)
Всего в 13 книгах Евклида содержится 140 основных положений (130 определений, пять постулатов и пять общих понятий) и 465 вытекающих из них предложений (93 задачи и 372 теоремы), а также 19 поризмов и 16 лемм.
Книга XIV была написана Гипсиклом Александрийским во II веке до н. э. Самые важные ее результаты — установление соотношений между площадями и объемами Платоновых тел.
Авторство небольшой книги XV предположительно принадлежит Исидору Милетскому, составившему ее в VI веке. В ней рассматривается вписывание некоторых правильных многоугольников в другие.
Предложения одной книги часто зависят от предложений предыдущих (см. таблицу ниже). Книги VII, VIII и IX не зависят от других, поскольку при их чтении можно обойтись без остальных частей, введя нужные определения.
Остальные же построены вокруг двух концептуальных основ: книги I и книги V. Можно сказать, что в них собраны достижения, предшествовавшие Академии и последовавшие за ней. Книги с X по XIII сильно связаны с обоими источниками.
Книга I | Самостоятельная |
Книга II | Опирается на книгу I |
Книга III | Опирается на книгу I, а также на предложения 5 и 6 книги II |
Книга IV | Опирается на книгу I, на предложение II книги II и на книгу III |
Книга V | Самостоятельная |
Книга VI | Опирается на предложения 27 и 31 книги III, а также на книги I и V |
Книга VII | Самостоятельная |
Книга VIII | Опирается на определения из книгУ и VII |
Книга IX | Опирается на предложения 3 и 4 из книги II, а также на книги VII и VIII |
Книга X | Опирается на предложения 44 и 47 из книги I, на книгу II, на предложение 31 из книги III, на книги V и VI, на предложения 4, 11, 26 из книги VII, на предложения 1, 24, 26 из книги IX |
КнигаХI | Опирается на книгу I, на предложение 31 из книги III, на предложение 1 из книги IV, на книги V и VI |