Например, абстрактное соотношение y = 20x может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества x проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени x (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния y (километров).
Вообще зависимость y = kx, где k - некоторый числовой коэффициент, встречается очень часто. В математике ее называют прямой пропорциональной зависимостью переменной величины y от переменной величины x или говорят также, что y - линейная функция от x. Какова бы ни была конкретная природа переменных величин x и yсвязанных соотношением y = kx, вы всегда можете утверждать, что, например, изменение x в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины y, а если k ≠ 0, то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.
Математика изучает и простейшую зависимость y = kx, и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.
Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.
С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.