Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 48

Рис. 5

Рис. 6

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7 изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины O. При таком вращении рамки 1/6 часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом 1/3 периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще 1/6 периода и за последние 1/3 периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Рис. 7

Треугольник Рело, как и любая кривая постоянной ширины h, может вращаться внутри полосы ширины h, как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной h, касаясь одновременно всех четырех его сторон.

А существуют ли такие выпуклые фигуры, которые могут вращаться внутри, скажем, равностороннего треугольника, постоянно касаясь всех его сторон? Одну такую фигуру вы знаете – это вписанный круг. А еще? Оказывается, таким свойством обладает пересечение двух кругов одинакового радиуса, расположенных так, что центр каждого из них лежит на границе другого (рис. 8). В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверливать отверстия треугольной формы.

Рис. 8

Важным характеризующим функцию свойством является монотонность (см. Возрастание и убывание функций). Однако этого свойства иногда оказывается недостаточно, чтобы описать ход изменения функции. На рис. 1 и 2 приведены графики монотонных функций, но они, как видим, различны. Форма графика первой функции, например, напоминает тяжелую нить, подвешенную в точках A и B, а форма второй – ветвь яблони, отягощенной плодами. Говорят, что функция, изображенная на рис. 1, выпукла вниз, а на рис. 2 – выпукла вверх. Точнее, функцию f(x), непрерывную на некотором промежутке X называют выпуклой вниз, если для любых точек x_>1 и x_>2 из промежутка X выполняется неравенство f ( (x_>1 + x_>2) /2 ) ≤ (f(x_>1) + f(x_>2)) /2 ).

Рис. 1

Рис. 2

Если для любых точек x_>1 и x_>2 из промежутка X справедливо неравенство f ( (x_>1 + x_>2) /2 ) ≥ (f(x_>1) + f(x_>2)) /2 ), то функцию f(x) называют выпуклой вверх (вогнутой). Эти неравенства имеют простой геометрический смысл. Точка с абсциссой (x_>1 + x_>2)/2