Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 70
, где r - поворот вокруг точки O на угол φ>0, а h - гомотетия с центром O и коэффициентом k>0 > 0. Пусть ..., A>-2,A>-1,A>0,A>1,A>2... - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании g, т.е. g(A>i) = A>i+1 при любом целом i (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого i угол A>iOA>i+1 имеет одну и ту же величину φ>0. Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию ..., A>-2,A>-1,A>0,A>1,A>2..., которая переводится преобразованием g в себя, причем каждая вершина A>i переводится в соседнюю вершину A>i+1.
Рис. 17
Заметим, что рассмотренное преобразование подобия g = h ∘ r (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число z = x + iy можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку (x;y). При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение g = h ∘ r, рассмотренное выше. Именно, пусть z = x + iy - некоторое комплексное число, ρ - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а φ - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число z получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в ρ раз, и, во-вторых, повернуть его на угол φ (рис. 19), т. е. вектор z получается из вектора 1 преобразованием g = h ∘ r = r ∘ h, где h - гомотетия с центром в начале и коэффициентом ρ, а r - поворот вокруг начала на угол φ. Итак, z = g(1). Если теперь z' = x' + iy' - другое комплексное число, то при применении преобразования g (т. е. при растяжении изображающего вектора в ρ раз и повороте его на угол φ) число z' переходит в z" (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число z вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел z>0,z>1,z>2 мы имеем z>2 - z>0 = z(z>1 - z>0), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов z>2 - z>0 и z>1 - z>0, а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
Задача 7. На сторонах треугольника A>1A>2A>3 построены вне его подобные между собой треугольники A>1B>1A>2, A>2B>2A>3, A>3B>3A>1. Доказать, что точка пересечения медиан