Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 79

Влияние группового подхода можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура F определяет некоторую группу движений; в эту группу входят все те движения, которые переводят фигуру F в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры F. Знание группы самосовмещений фигуры F во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Возьмем, например, параллелограмм общего вида, т.е. не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом (рис. 1). Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение e (оставляющее все точки плоскости на месте) и симметрия r относительно точки O, в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм F в себя, нет. Таким образом, группа самосовмещений параллелограмма состоит из двух элементов e,r. Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию r, вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма симметричны относительно точки O, то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны, и т.д.

Рис. 1

Группа самосовмещений ромба содержит кроме e и r еще две осевые симметрии s^>1 и s^>2 относительно прямых, на которых расположены диагонали ромба (рис. 2). Из того, что в этой группе имеются дополнительные (по сравнению с параллелограммом общего вида) движения s^>1 и s^>2, вытекает наличие у ромба дополнительных, специфических свойств (помимо свойств, присущих всякому параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т.д. В качестве еще одного примера отметим, что группа самосовмещений равнобедренного треугольника, не являющегося равносторонним (рис. 3), состоит из двух элементов e,s, где s - осевая симметрия. Из наличия в группе самосовмещений равнобедренного треугольника движения s вытекают основные свойства этого треугольника: равенство углов при основании, совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных к основанию, равенство медиан, проведенных к боковым сторонам, и т.д. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью) удобнее всего доказывать, используя группы их самосовмещений. Свойства сферы, цилиндра, конуса также лучше всего выводить с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений.