Создание математической логики увенчалось успехом после выхода трехтомного труда Б. Рассела и А. Уайтхеда «Principia Mathematica», опубликованного в 1910-1913 гг. В этом фундаментальном сочинении систематизировано дедуктивно-аксиоматическое построение классической логики, создана так называемая теория типов, предназначенная для устранения ряда парадоксов математической логики.
В XX в. языки исчислений были плодотворно применены для формализации не только арифметики, но и алгебры, анализа, геометрии и ряда других разделов математики. При этом оказалось, что логика является образцом научной строгости. Через математическую логику осуществился также переход к новым разделам науки, называемым метанаукой (См.: Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957).
Повышенный интерес в последние десятилетия вызвали исследования по логической семантике, которая изучает смыслы и значения теоретических и эмпирических терминов в языках различных наук. Бурный прогресс ряда направлений современной науки привел к многозначности их базовых терминов. Отсюда возникла нужда их определения с помощью средств логико-методологического анализа. В частности, разработана семантика таких терминов, как система, модель, вероятность, факт, теория.
В XX столетии логика активно занимается исследованиями в области «машинного мышления». Здесь были заложены основы теории алгоритмов, сыгравшей выдающуюся роль в кибернетике (К. Гедель, А. Тьюринг, А. Черч, А. Марков, А. Колмогоров и др.). Логика оказалась применимой ко многим разделам технических наук: созданы алгебраическая теория релейно контактных схем, общая теория анализа и синтеза конечных автоматов и др.
И в наши дни логика остается важнейшим средством рационального построения научного познания. Она используется как арсенал теоретизации науки. Существуют типические задачи этого уровня познания, которые решаются логическими средствами. Некоторые из них рассматриваются в ходе дальнейшего изложения.
1. Понятия, их образование и определение
Понятие - это одна из базовых форм абстрактного мышления. Собственно, абстрактное мышление часто называют понятийным. Формируя понятия в науке, с помощью понятий отражаются изучаемые предметы, явления процессы. Таковые берутся в обобщенной форме на основании некоторых существенных признаков.
Для образования понятия необходимо найти и обосновать существенные признаки предмета. Чтобы их вскрыть, используют следующие логические приемы: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение и др.
В логике признаком предмета называется то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Признаками могут быть не только свойства, принадлежащие предмету; отсутствующее свойство (черта, состояние, отношение) также рассматривается как его признак. Любой реальный предмет имеет множество разнообразных признаков. Признаки, которые необходимо принадлежат предмету, выражают его внутреннюю природу, называются существенными. Признаки, которые могут принадлежать, но могут и не принадлежать предмету и которые не выражают его природы, называются несущественными.