Космологическое красное смещение – что это такое? (Путенихин) - страница 4
Из этого уравнения (4) можно вывести соотношение между скоростью и красным смещением. В цитате мы добавили номера к формулам (0), (1) и (4), которые в оригинале отсутствуют. Если взять левое равенство уравнения (1) из приведённой цитаты:
и использовать его для подстановки в уравнение (4), рассматривая движение света и объектов вдоль одной линии, при котором θ = π (источник и приёмник удаляется друг от друга), и традиционно приняв с = 1, получим:
После сокращения получаем:
Учитывая уравнение для красного смещения:
находим:
После сокращения получаем:
Строго говоря, это уравнение для красного смещения не должно иметь решений, поскольку при любой скорости величина смещения z оказывается отрицательной величиной:
Тем не менее, решая это уравнение, находим зависимость скорости от красного смещения:
Или в традиционной развёрнутой форме:
Странный знак минус с неясными обоснованиями следует отбросить. Из исправленного уравнения, отбрасывая величины высших порядков малости, можно получить традиционное уравнение приближенных значений скорости для z << 1
Нередко в литературе указывается, что такое приближение допустимо при красных смещениях до величины порядка z ~ 0,1 [7]. Однако такое приближение сделано "на глазок". Разумнее выяснить, как зависит погрешность вычисления скорости от красных смещений. Точное значение скорости определяется уравнением (7). Переход к приближённому уравнению связи красного смещения и скорости v = cz может быть произведён также отбрасыванием членов высшего порядка через разложение Тейлора, как это описано в [1, с.406]:
Погрешность вычисления скорости с её завышением при таком отбрасывании и значении z = 0,1 составляет 5%:
Более точно величину погрешности можно найти из следующих соображений. Пусть приближенное значение скорости отличается от точного значения на множитель k < 1, то есть:
Тогда
Преобразуем:
Уравнение позволяет вычислить, при каких z погрешность не будет превышать величину k. В частности, для k = 1 находим:
Это решение, очевидно, неприемлемо, поскольку по определению красное смещение при разбегании участников положительно. Для других значений приближения погрешность можно найти из уравнения (8). Например, погрешности для значений z = 0,01 и z = 0,1 равны:
Как видим, действительно, при значениях z < 0,1 погрешность вычисления скорости не превышает 5%. Если же z > 1, то погрешность превышает 40%:
Следует заметить, что в приведённой выше цитате уравнение (0), предшествующее уравнению (1), описано несколько двусмысленно. Не совсем понятно, относится оно к случаю, когда "источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается", либо к случаю, когда он "удаляется – длина волны увеличивается". По смыслу уравнения (0) и (1) соответствуют случаю сближения источника и приёмника. Кроме того и сами утверждения уменьшается-увеличивается также недостаточно наглядны. Поэтому рассмотрим эти изменения длины волны в более развернутом виде. На рисунке показано, что при движении световой волны мимо наблюдателя, неподвижного относительно источника,