Развитие геометрии: Мандельброт против Евклида
«Прямые, те, что параллельны, на бесконечности сходятся!» —
Так непрестанно, упорно Евклид утверждал.
Но вот умер он и лишь после смерти узнал,
Что две параллельных прямых расходятся.
Черт бы всех их побрал!
Пит Хейн. Груки
С давних пор люди пытались понять строение космоса. Они стремились найти законы Вселенной, которым подчиняется движение планет и форма галактик, искали формулы, позволяющие предсказать падение предметов, старались понять полет птиц, изучали анатомию живых существ и строение человеческого разума.
В целом космос делится на две части: микрокосмос и макрокосмос. Макрокосмосом называют множество объектов Вселенной, которые по размерам сопоставимы с нашей планетой, Солнечной системой, галактикой или созвездиями. Микрокосмос, напротив, образуют все объекты, которые по размерам сопоставимы с человеком или даже меньше его. Например, сюда относятся органы нашего тела, вирусы и молекулы. Человеку всегда было интересно то, что нельзя увидеть или предсказать, и это любопытство двигало его в дали макрокосмоса и в глубины микрокосмоса.
Еще с древних времен считалось, что между микрокосмосом и макрокосмосом есть взаимосвязь. В Древней Греции верили, что элементы всего сущего, начиная от макрокосмоса и заканчивая микрокосмосом, воспроизводятся по одним и тем же схемам и правилам. Древнегреческие философы, увидев, что соотношение 1,6180…, позднее названное золотым сечением, присутствует во всех явлениях природы, попытались дать этому рациональное объяснение и тем самым совершили первый шаг к унификации микро- и макрокосмоса. В арабских источниках 650 г. встречаются переведенные тексты изумрудной скрижали, которую, по легенде, написал Гермес Трисмегист (от его имени происходит слово «герметичный»). В изумрудной скрижали раскрываются тайны «первичнои материи» и ее видоизменении, описывается «великое делание» — основной рецепт алхимии. Вторая заповедь скрижали гласит: «То, что находится внизу, соответствует тому, что пребывает вверху; и то, что пребывает вверху, соответствует тому, что находится внизу, чтобы осуществить чудеса единой вещи». Основная цель алхимии — понять таинственную связь между микрокосмосом и макрокосмосом и тем самым обрести мудрость.
Желание греков унифицировать микро- и макромиры нашло отражение в недавно появившемся разделе математики. В одной из многочисленных областей геометрии рассматриваются два основных понятия: самоподобие и непрерывность. Оба эти понятия со временем постепенно уточнялись и дополнялись. Именно о них мы подробно поговорим далее и расскажем о некоторых весьма интересных математических конструкциях.