Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 56
>Первые итерации построения дьявольской лестницы.
>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)
Дьявольская лестница — это не просто график некоторой функции с примеча тельными свойствами. Она описывает свойства многих физических систем.
ДЬЯВОЛЬСКИЕ ЛИНЗЫ
В отличие от обычных, или преломляющих, линз, дифракционные линзы фокусируют лучи благодаря явлению дифракции, которое возникает при взаимодействии света с физической структурой линзы в форме концентрических колец различной плотности и (или) светопроницаемости. Существует разновидность дифракционных линз, известных как дьявольские линзы, которые обладают повышенной глубиной резкости и меньшими хроматическими аберрациями. Несмотря на зловещее название, эти линзы не содержат чего-то колдовского или сверхъестественного, что подтверждают их создатели: «Эти линзы получили такое название благодаря особому профилю, который был разработан по образцу фрактальной структуры, известной в математике под названием „дьявольская лестница"».
Эти линзы являются мультифокальными, то есть имеют несколько очень близко расположенных точек фокуса. Интенсивность света в фокусах линзы описывается фрактальной структурой. Мультифокальность линзы означает, что фокусы, соответствующие различным длинам световых волн, накладываются друг на друга; тем самым создается более четкое изображение. Это же свойство позволяет повысить глубину резкости, то есть расширить область, в пределах которой обеспечивается четкость изображения.
На фотографиях представлены дифракционные линзы под микроскопом. Видно, что они образованы множеством неравномерно расположенных концентрических колец. В основе строения этих линз лежит фрактальная структура. Мультифокальные линзы подобного типа используются для коррекции зрения.
Они также могут быть имплантированы внутрь глаза при операциях по удалению катаракты.
Простейшие преобразования объектов, которые можно выполнить на плоскости, называются преобразованиями подобия. Как следует из названия, они преобразуют один объект в другой, подобный первому, то есть изменяют не форму объекта, а лишь его положение, размер или ориентацию. К преобразованиям подобия относятся параллельный перенос, сжатие и растяжение, вращение и отражение.
Кривая Коха, о которой мы рассказали в прошлой главе, обладает свойством самоподобия, так как состоит из нескольких (четырех) частей, подобных всей кривой в целом. Чтобы получить первую часть кривой (расположенную слева), нужно всего.\ишь уменьшить всю кривую в три раза и совместить левый конец кривой с левым концом полученной уменьшенной копии.