Возможно, точнее всего можно определить фрактал через его свойства: фрактал — это фигура, обладающая самоподобием (составные части подобны всей фигуре целиком), которая строится посредством итеративного процесса, зависит от начальных условий и имеет сложную структуру, несмотря на простоту алгоритма построения. Британский математик Кеннет Фальконер в своей книге Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications («Фрактальная геометрия. Математические основы и приложения», 1990), определяет фрактальную структуру как структуру, обладающую одним из нижеперечисленных свойств:
1. Она слишком неравномерна, поэтому ее нельзя описать в терминах классической геометрии.
2. Ее детали заметны при любом масштабе наблюдений.
3. Она обладает самоподобием в некотором смысле (точным, примерным или статистическим).
4. Ее размерность Хаусдорфа-Безиковича строго больше ее топологической размерности.
5. Она строится с помощью простого рекурсивного алгоритма.
В 1975 г. Мандельброт дал фракталам такое определение: фракталы — это фигуры, которые являются результатом повторяющихся математических процессов, описываются не дифференцируемыми функциями, обладают самоподобием в любом масштабе и имеют фрактальную размерность.
Его не полностью устраивало это определение, и в 1982 г. Мандельброт определил фрактал как множество, у которого размерность Хаусдорфа строго больше, чем топологическая размерность. Тем не менее он сам признавал, что это определение недостаточно общее и не описывает отдельные объекты, которые являются фракталами, в частности кривые, покрывающие плоскость, к которым относятся кривая Пеано и кривая Гильберта (о них подробно рассказывается в первой части второй главы)[25].
Можно принять точку зрения Барнсли, который понимал фракталы как аттракторы систем итерируемых функций, а можно придерживаться определения, которое приводит Джудит Седерберг в книге A Course in Modern Geometries («Курс современной геометрии», 2001). Оно звучит так: фрактал — это множество точек, обладающее самоподобием в строго детерминированном или строго стохастическом (случайном) смысле. Множество Мандельброта не удовлетворяет ни одному из этих определений, что может представлять некоторые неудобства (или наоборот). Седерберг пишет по этому поводу:
«Природа (или математическое описание?) множества Мандельброта — это наглядная аналогия того, что в музыке называется «тема с вариациями»: одни и те же шаблоны повторяются повсюду, но всякий раз несколько по-разному… Рассматривая его, мы постоянно будем видеть что-то новое, но при этом снова и снова будут появляться знакомые очертания. Благодаря этой неизменной новизне, множество Мандельброта можно назвать предельным фракталом, так как оно содержит другие фракталы внутри себя. По сравнению с обычными фракталами оно содержит больше элементов, обладает большей гармоничностью, а его неожиданные свойства еще более неожиданны».