Александр Михайлович происходил из культурной высокообразованной семьи; отец известный астроном, три сына его прославились каждый на своем поприще: один стал композитором, другой — филологом, третий — математиком. Филолог и математик преподавали в Харьковском университете; были очень разными: Борис Михайлович остроумный, подвижный, твердый, жизнерадостный; Александр Михайлович замкнутый, ранимый, тихий. Студенты не валили валом на его лекции (как на лекции брата), но истинные поклонники математики, раз послушав, не могли не полюбить его негромкую, раздумчивую речь. Как-то в аудиторию к нему попал молодой человек по имени Володя Стеклов; студенты знали о нем — и почему-то именно это раньше всего узнали, — что он «племянник Добролюбова... того самого». Да, Николай Александрович Добролюбов, знаменитый публицист и друг Чернышевского, приходился Володе дядей. После лекции юноша подошел к Ляпунову, попросил разъяснить один из выводов; Александр Михайлович пригласил к себе домой, чтобы за чаем продолжить беседу. Прощаясь поздно вечером, посоветовал: «Непременно займитесь математикой всерьез. У вас подготовка неглубокая, но мыслите цепко!»
Владимир Андреевич Стеклов, закончив Харьковский университет, оставлен был при нем, вскоре защитил магистерскую диссертацию, потом докторскую, в 1903 году выбран был членом-корреспондентом Академии наук и к моменту нашего повествования проживал в Петербурге — как и его учитель, который был теперь ординарным академиком. Оба по праву считались крупнейшими математическими авторитетами.
Понятно, мы не стремимся дать развернутую картину деятельности академии в первые полтора десятилетия XX века. В наше повествование попадают ученые, с которыми Александр Петрович был наиболее близок по академии. Именно поэтому, например, переходя к членам Второго отделения (историко-филологического), придется назвать в первую очередь не имя Ключевского, сочинениями которого Александр Петрович увлекался, но с которым лично был знаком поверхностно, поскольку Василий Осипович жил в Москве, а Лаппо-Данилевского Александра Сергеевича, с которым частенько в академии встречался. Тот поставил своей задачей — и это была грандиозная по масштабам задача — издать все русские памятники, акты и грамоты, сопроводив их обстоятельными научными комментариями. С Лаппо-Данилевским связывают создание новой научной дисциплины — дипломатики частных актов; он привлек к археографической работе группу известных археографов и историков (М.А.Дьяконова, С.А.Шумакова, Н.Д.Чечулина и других), так что в совокупности они составляли как бы научный отдел при академии.