и
В
имеются некоторые соотношения и если эти соотношения сохраняются при О., то О. называется изоморфным относительно этих соотношений (см.
Изоморфизм
).
В математическом анализе большую роль играют О. одного множества функций на другое. Например, дифференцирование может рассматриваться как О., при котором функции f
(x
) соответствует функция f
’>I
(x
). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при которых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число образ её умножается на то же число. Такие О. называются линейными, их изучают в функциональном анализе
. См. также Линейное преобразование
, Операторов теория
.
В ряде случаев в множествах А
и В
можно ввести координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x>1
,..., х>п
) и (y>1
,..., у>п
). Тогда О. задаётся системой функций у>к
= f>k
(x>1
,..., x>n
). 1 £ k
£ m
. В большинстве встречающихся на практике случаев функции f>1
, f>2
,..., f>m
дифференцируемые: тогда О. называется дифференцируемым. Если О. дифференцируемо, m= n
и якобиан
О. отличен от нуля, то О.
взаимно однозначно.
Дифференцируемые О. поверхностей на поверхности изучаются в дифференциальной геометрии. Имеются свойства, общие всем дифференциально-геометрическим О. Например, на поверхности S
всегда можно указать такую ортогональную сеть (см. Сети линий
), которой на поверхности S
’ соответствует также ортогональная сеть. Эта теорема имеет важное значение в картографии.
Наиболее важны следующие классы О. поверхностей. Изометрическое отображение, которое характеризуется тем, что всякая дуга, лежащая на S
, имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S
’. При таких О. сохраняются площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими из одной точки (подробнее см. Дифференциальная геометрия
, Изгибание
). Конформное отображение, при котором сохраняются углы между всякими двумя направлениями, выходящими из одной точки (см. Конформное отображение
). Примером может служить стереографическая проекция. Сферическое отображение поверхности S
на сферу S состоит в том, что каждой точке М
поверхности S
ставится в соответствие такая точка М
’ сферы S, чтобы нормали к S
и S, проведённые соответственно в точках М
и М
’ были параллельны. Более общим является О. двух произвольных поверхностей по параллельности нормалей. Геодезическое отображение поверхностей, при котором любой геодезической линии на поверхности S
соответствует на S
’ линия также геодезическая. Геодезическая О. поверхности постоянной отрицательной кривизны на часть плоскости имеет большое значение для истолкования геометрии Лобачевского. Эквиареальное отображение поверхности на поверхность, при котором площади соответствующих друг другу фигур равны.