Большая Советская Энциклопедия (СФ) (БСЭ) - страница 13

  Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения

  q = f (t), j = g (t)

или одно уравнение

  F (q, j) = 0

между координатами q и j определяют некоторую линию на сфере. Длина L дуги M_>1M_>2 этой линии вычисляется по формуле

где t_>1 и t_>2 — значения параметра t, соответствующие концам M_>1и M_>2 дуги M_>1M_>2 (рис., 8).

  Лит.: Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.— М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.

Рис. к ст. Сферическая геометрия.

Сфери'ческая тригономе'трия, математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С — углы и а, b, с — противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:

cos а = cos b cos с  + sin b sin с cos А,                (2)

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,            (2_>1)

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,         (3)

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;      (3_>1)

в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R — радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А  (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

  Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а — гипотенуза, b, с — катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

sin b = sin a sin В,                  (1')

cos a = cos b cos c,                (2')

sin a cos B = cos b sin c.        (3')

  Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А)по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° - b, 90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,

cos а = sin (90° - с) sin (90° - b)

или, после преобразования,

cos а = cos