Теорема: Крокодил более длинный, чем широкий.
Доказательство. Возьмем произвольного крокодила и докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1: Крокодил более длинный, чем зеленый.
Доказательство. Посмотрим на крокодила сверху — он длинный и зеленый. Посмотрим на крокодила снизу — он длинный, но не такой зеленый (на самом деле он темно-серый).
Следовательно, лемма 1 доказана.
Лемма 2: Крокодил более зеленый, чем широкий.
Доказательство. Посмотрим на крокодила еще раз сверху. Он зеленый и широкий. Посмотрим на крокодила сбоку: он зеленый, но не широкий. Это доказывает лемму 2.
Утверждение теоремы, очевидно, следует из доказанных лемм.
Обратная теорема («Крокодил более широкий, чем длинный») доказывается аналогично.
На первый взгляд, из обеих теорем следует, что крокодил — квадратный. Однако, поскольку неравенства в их формулировках строгие, то настоящий математик сделает единственно правильный вывод: КРОКОДИЛОВ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
Теорема: Все натуральные числа равны между собой.
Доказательство. Необходимо доказать, что для любых двух натуральных чисел A и B выполнено равенство A = B. Переформулируем это в таком виде: для любого N > 0 и любых A и B, удовлетворяющих равенству max(A, B) = N, должно выполняться и равенство A = B.
Докажем это по индукции. Если N = 1, то A и B, будучи натуральными, оба равны 1. Поэтому A = B.
Предположим теперь, что утверждение доказано для некоторого значения k. Возьмем A и B такими, чтобы max(A, B) = k + 1. Тогда max(A–1, B–1) = k. По предположению индукции отсюда следует, что (A–1) = (B–1). Значит, A = B.
14. Все обобщения неправильны!
Любители лингвистических и математических головоломок наверняка знают про рефлексивные, или самоописывающиеся (не подумайте ничего плохого), самоотносимые слова, фразы и числа. К последним, например, относится число 2100010006, в котором первая цифра равна количеству единиц в записи этого числа, вторая — количеству двоек, третья — количеству троек, ..., десятая — количеству нулей.
К самоописывающимся словам относится, скажем, слово двадцатиоднобуквенное, придуманное мной несколько лет назад. В нем действительно 21 буква!
Самоописывающихся фраз известно великое множество. Один из первых примеров на русском придумал много лет назад знаменитый карикатурист и словесный остроумец Вагрич Бахчанян: В этом предложении тридцать две буквы. Вот несколько других, придуманных гораздо позже: 1. Семнадцать буковок. 2. В этом предложении есть ошибка, расположенная в канце. 3. Это предложение состояло бы из семи слов, если было бы на семь слов короче