Произведем далее операцию параллельного переноса на полусфере вдоль контура треугольника. Поскольку полусфера неевклидова поверхность, то при полном обходе треугольника (возвращение вектора в точку, совпадающую с началом вектора a) между направлениями первичного и конечного векторов (стрелки на рисунке) образуется некоторый угол — связность.
Обобщим это понятие на расслоенное пространство. С этой целью спроецируем треугольник на круг (базу). Прямые, осуществляющие проекцию, — слои пространства. Проекции начального и конечного векторов на полусфере образуют на круге некоторый угол v ≠ 0, который является компонентой связности в базе.
Чтобы определить связность в слоях, введем расстояние от начала слоя (отрезка), которое является, вообще говоря, произвольной точкой отсчета. Важно лишь, чтобы во всех слоях были бы одинаковые точки отсчета. Иначе говоря, любой круг, пересекающий слои и параллельный основанию полусферы, мог бы определить точки отсчета. Естественно (но не необходимо) отождествить точки отсчета с точками круга — базы. Будем далее измерять угол между векторами во время параллельного переноса в произвольных единицах (например, радианах) и откладывать этот угол на прямых — слоях пространства. В результате операции полный обход периметра треугольника на сфере будет соответствовать некоторому подъему величины проекции в слое. Этот подъем определяется смещением векторов в полусфере при возвращении в точку, совпадающую с началом вектора a после полного обхода контура. В пространстве слоев
1 начало обхода на полусфере соответствует точке a|, конец 1 1 1 d| (см. рис. 3). Таким образом, расстояние a|d| характеризует связность в слое.
Расслоение полусферы на круг и линейное пространство одно из простейших расслоений, позволяющих дать наглядную интерпретацию связности расслоенного пространства. В общем случае подобная наглядность утрачивается. Идея введения общего определения связности близка к основной идее дифференциальной геометрии: в малом объеме метрика пространства евклидова или псевдоевклидова. В расслоенных пространствах также постулируется простота пространства в малом. Полагается, что в малом расслоенное пространство можно представить простым произведением, частным случае которого и было расслоение полусферы.
В результате обхода микроконтура в полном пространстве или базе определяется компонента связности в базе. Далее в соответствии с приведенным выше примером операция обхода микроконтура количественно отображается в пространстве слоев, определяя таким образом связность в этом пространстве.