В чем причины поразительной живучести евклидовой геометрии? На наш взгляд, ответ на этот вопрос многозначен. Во-первых, она хорошо отображает простейшие количественные отношения форм реальных объектов, во-вторых, евклидову геометрию характеризует поражающая логичность и методическая завершенность, наконец, евклидова геометрия является превосходной основой для воспитания логического мышления на общедоступных примерах, имеющих широкие практические приложения.
Поучительно подробнее разобрать приведенные аргументы.
Геометрия (как указывает ее название) родилась из практических задач — измерения площадей земельных участков. Например, простейший вопрос об отношении площадей круга и квадрата нельзя решить без помощи геометрии (в рамках элементарной математики). Именно задачи о сравнении площадей земельных участков очень часто приходилось решать древним геометрам.
Отметим, что актуальность решения подобных задач сохраняется и поныне. Можно с уверенностью сказать, что читатель сталкивается с вопросом о длинах, площадях и объемах различных предметов. Основные понятия геометрии Евклида прочно вошли в нашу жизнь. Образы точки (например, в письме), плоскости (стены комнат) и объемов)дома, в которых мы живем) — наша повседневная действительность.
Евклид (точнее, его геометрия) в достаточно общем виде решил одну из важнейших практических проблем: количественного сравнения реальных объектов с разными формами. Созданная им геометрия была облечена в столь безукоризненную изящную форму, что актуальная для современности проблема «практического внедрения» была решена без задержек.
Несомненно, что «живучести» геометрии Евклида и ее быстрому «внедрению» способствовала ее адекватность кинематике абсолютно твердых тел. Неизменность их формы при перемещениях оптимально описывается в рамках евклидовой геометрии.
Подчеркнем далее, что вместе с геометрией Евклида в математику пришла абстракция. Для геометрии (по крайней мере в ее привычной формулировке) безразлично, сравниваются ли, например, объемы однородных предметов (двух комнат) или различных (например, гаража и автомашины). Геометрия как часть математики отвлекается от сущности объекта исследования. И в этой особенности имеются как сильные, так и слабые стороны.
Сила традиционной геометрии — в ее общности, универсальности. Слабость — в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, самая наглядная наука — геометрия базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям. Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые «школьные» истины.