Отметим также и другую важную особенность сферической геометрии. Если вырезать из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться геометрией Евклида. Здесь полезно подчеркнуть, что подобный прием — вычленение из более сложной геометрии простейшей (в данном случае геометрии Евклида) с помощью выделения малой части полного пространства (здесь — сферы) — прием весьма распространенный и мы далее столкнемся с ним не раз.
После открытия одного варианта неевклидовой геометрии в последующем своем развитии геометрия как ветвь математики прошла весьма значительный путь. Были развиты многие другие неевклидовы геометрии (некоторые из них рассматриваются далее в разд. 6 и 7 этой главы). В подобной эволюции существенную роль сыграло внедрение в геометрию аналитических методов. По существу, геометрия слилась с алгеброй (точнее, с математическим анализом), оставив в своем арсенале лишь одну (хотя и важную) привилегию определенную форму мышления, в которой большую роль играют образность и наглядность.
3. ИДЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ
Ранее мы упоминали о некоторой неопределенности в основных понятиях геометрии: точка, линия и т. д. Превосходной иллюстрацией такой неопределенности является геометрический принцип двойственности. Суть этого принципа заключается в том, что если поменять местами наглядные образы точки и прямой, то в аксиомах и теоремах геометрии почти ничего не изменится.
Покажем некоторые простейшие примеры проявления принципа двойственности, для чего вначале приведем стандартные положения геометрии, а затем попросим читателя сделать усилие и в соответствующих фигурах совершить взаимную замену точек и прямых.
1. Через одну точку можно провести бесконечное число прямых. Любая прямая содержит бесконечное число точек.
Второе положение эквивалентно первому в следующем смысле: нужно слово «провести» заменить на «содержит». Такая замена имеет лишь семантический характер.
2. Через точку пересечения двух прямых a и b можно провести бесконечное число прямых, расположенных между прямыми a и b.
Ясно, что и это положение сохраняет свою силу при взаимной замене точек и прямых.
3. Треугольник — это фигура, образованная тремя прямыми, проходящими через три точки, не лежащие на одной прямой.
Легко проверить, что при взаимной замене точек и прямых получается привычный треугольник.
Число иллюстраций принципа двойственности можно существенно увеличить, он пронизывает всю геометрию. Отсюда можно сделать вывод: интуитивные понятия «точки» и «прямой» в значительной степени условны.