Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.
Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.
Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через...» и так далее.
Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.
Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.
Аксиоматическая теория строится следующим образом:
1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);
2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);
3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;
4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.
Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.