Представьте себе такую игру: один игрок пишет на бумажке «черное» или «белое», а второй угадывает. Если угадает, то заработает рубль, а если нет — то проиграет рубль. Правила понятны?
У каждого из игроков по две чистые стратегии: у одного — загадать один из двух цветов, у другого — сказать «черное» или «белое». Но если стратегия первого будет состоять в том, чтобы загадывать «белое», то второй, конечно, будет говорить «белое» и выигрывать. А если загадывающий знает, что второй собирается сказать «белое», то он лучше загадает «черное» и окажется в выигрыше. Получается, что на каждый выбор загадывающего имеется такой ответ, что ему захочется поменять свой выбор. И наоборот: если бы тот, кто загадывает, знал, какую стратегию применяет второй, он бы поменял цвет. Так что чистые стратегии в этой игре не дают равновесия.
Зато если загадывающий «смешает» стратегии — подкинет тайком монетку и, если выпадет решка, напишет «белое», а если орел — «черное», то у второго есть такой ответ, что первому все равно будет выгодно придерживаться этой смешанной стратегии. А именно: второй игрок тоже будет подкидывать тайком монетку и называть цвет в зависимости от того, какой стороной она выпала. Таким образом и будет достигнуто равновесие.
Нечто похожее происходит и при исполнении одиннадцатиметрового. Грубо говоря, у бьющего пенальти есть три стратегии — ударить в правый угол, в левый или, сделав вид, что бьет в угол, ударить по центру. И у вратаря возможностей тоже три — прыгнуть вправо, прыгнуть влево и остаться на месте. Точно так же, как и в игре с загадыванием цветов, равновесие здесь возможно только «смешанное». В голове у вратаря должен быть небольшой датчик случайных чисел — только тогда его действия окажутся оптимальными.
ЭМПИРИЧЕСКИЙ ВОПРОС
Игра в «черное» и «белое» показывает, что без смешанных стратегий часто не обойтись. Это теоретически. Три американских экономиста — Стивен Левитт, знаменитый автор популярной книги «Фрикономика», Пьер-Андре Кьяппори и Тимоти Гроузклоуз — решили посмотреть, насколько точно следуют предписаниям экономической теории профессиональные футболисты>20. И оказалось, что и вратари, и «пенальтисты» довольно устойчиво следуют оптимальным стратегиям — прыгают и бьют по углам случайным образом.
Как проводилось исследование? Чтобы определить, в какой угол прыгал вратарь и куда бил игрок, исполняющий одиннадцатиметровый, экономисты просмотрели фрагменты матчей французской и итальянской профессиональных лиг за три года. За это время было пробито 459 пенальти 162 игроками, в воротах стояло 88 вратарей. Из пенальтистов 58 процентов пробило не менее чем по 4 раза. Ни один не пробил все удары в один угол.