Один из наиболее глубоких философов, занимавшихся проблемами оснований математики, Людвиг Виттгенштейн заявил, что математика — не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. Математические «истины» зависят от людей ничуть не меньше, чем восприятие цвета или английский язык.
Итак, физики (и некоторые философы) полагают, что математика своими корнями глубоко уходит в физическую реальность, и рассматривают ее как инструмент познания. По мнению Планка, Маха, Больцмана и Гельмгольца, математика дает не более чем логическую структуру законов физики.
Весьма реалистическая оценка успехов математики на фоне физической реальности дана Гильбертом Льюисом в его «Анатомии науки» (1926):
Ученый — человек практический и преследует практические цели. Он не ищет истину в последней инстанции, а довольствуется приближением к ней. Он говорит не об окончательном результате, а об очередном приближении. Не в его вкусе те изящные структуры, которые столь эфемерны, что один-единственный изъян приводит к гибели всего целого. Ученый строит медленно и возводит постройки, быть может, несколько грубоватые, но зато прочные. Если какая-нибудь часть возведенного им сооружения ему не нравится, он с готовностью заменяет ее, не причиняя ущерба остальному зданию даже в том случае, когда неудачная часть расположена вблизи самого основания. В целом он доволен своей работой, ибо, хотя наука никогда не была полностью права, она заведомо никогда целиком не заблуждалась и совершенствовалась от десятилетия к десятилетию.
Полагать, что существует истина в последней инстанции, хотя такая точка зрения распространена необычайно широко, не очень полезно для науки; она годится разве как указатель горизонта, к которому можно стремиться, но не пункт, которого можно достичь.
Позиция, занятая физиками, должна напомнить нам о том, сколь значительная часть современной математики развилась из нашего непрестанного взаимодействия с окружающим физическим миром. Как отмечает Уильям Барретт в книге «Иллюзия техники» (1978), вся история математики свидетельствует о существовании взаимосвязи между математическим разумом и природой. Например, геометрия и математический анализ возникли в силу необходимости иметь дело с объектами и явлениями реального мира. Некоторые современные математики стремились ослабить связь своей науки с природой. Чрезмерное пристрастие к формализму привело их к убеждению, что математика — свободный экскурс в пустоту. Некоторые философы не без одобрения отнеслись к подобной тенденции. Вполне понятно, заявили они, что мы вряд ли могли бы строить самолеты или запускать ракеты без помощи математики. Однако не стоит, вырывая из контекста то или иное математическое утверждение, спрашивать, какому именно факту в реальном мире оно соответствует. Ясно, что на такого рода вопросы невозможно дать сколько-нибудь вразумительный ответ. Мы не должны выносить то или иное математическое утверждение за рамки математической языковой практики и в свою очередь рассматриваем последнюю как неотъемлемую часть нашего общего языка. Математика, как его функционирующая часть, служит для того, чтобы многое сообщать об объектах окружающего нас мира.