Ту же неспособность объяснить взаимосвязь между математикой и реальностью мы встречаем в письме Шарля Эрмита к Лео Кёнигсбергеру (1837-1921):
Эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств.
([13], с. 397.)
Другие мыслители также вынуждены были признать, что необычайная эффективность математики необъяснима. Так, философ Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914) заметил: «По-видимому, в этом есть какая-то тайна, которую еще предстоит раскрыть». Впоследствии Эрвин Шрёдингер в книге «Что такое жизнь с точки зрения физика?» признавал, что суть открытия человеком законов природы вполне может лежать за границами человеческого разума. Другой выдающийся физик Фримен Дайсон также считает, что «мы, по-видимому, еще не приблизились к пониманию взаимосвязи между физическим и математическим мирами». К словам названных ученых остается только добавить высказывание Эйнштейна: «Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим». Однако Джеймс Джинс утверждает, что физические понятия и механизмы — не более чем гипотезы, выдвигаемые при построении математического описания реального мира. Но это означает, что все понятия, которыми оперирует физика, вряд ли представляют собой нечто большее, нежели фантазии. По мнению Джинса, математические уравнения — единственное, что нам достоверно известно о явлениях физического мира. Урожай, венчающий все усилия в физике, — лишь набор математических формул; реальная сущность материальной субстанции навсегда останется непознаваемой.
И все же роль математики в современной физике несравненно шире, чем просто удобного инструмента исследования. Под этой ролью часто понимают обобщение и систематизацию (в символах и формулах) явлений, наблюдаемых и устанавливаемых с помощью физического эксперимента, и последующее извлечение из формул дополнительной информации, не обнаруживаемой ни наблюдением, ни экспериментом и не вытекающей из непосредственно полученных данных. Но такое толкование роли математики далеко не исчерпывает всех ее достижений. Математика составляет сущность естественнонаучных теорий, и ее приложения в XIX-XX вв. на основе чисто математических конструкций представляются нам еще более удивительными, чем все ее прежние успехи, достигнутые в эпоху, когда математики оперировали понятиями, навеянными непосредственно физическими явлениями. Хотя было бы неверно приписывать одной лишь математике такие достижения современной науки, как радио, телевидение, самолет, телефон, телеграф, высококачественная звукозаписывающая аппаратура, рентгеновские лучи, транзисторы, атомная энергия (и, увы, атомная бомба), вклад математики более фундаментален и существен, чем вклад экспериментальной науки.