Формулы
тригонометрии, упомянутые выше, входят
в школьную программу. Подавляющему
большинству после школы они никогда не
понадобятся, разве что на вступительных
экзаменах, и их можно спокойно забыть.
Знать - и не только знать, но и осознавать,
понимать надо следующее (и именно это
входит в обязательный, на наш взгляд,
интеллектуальный багаж): треугольник
однозначно определяется заданием любой
его стороны и прилегающими к ней углами,
и этот очевидный факт может быть
использован и реально используется для
измерения расстояний методом триангуляции.
Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и
понадобятся формулы тригонометрии, их
легко можно будет найти в справочниках.
Учат ли в наших школах пользоваться
справочниками? А ведь это умение
несравненно полезнее, чем помнить
формулы наизусть.
Наконец,
о равенстве 32 + 42 = 52. Если положительные
числа a, b, c обладают тем свойством,
что a 2+ b 2= c 2, то, по
обратной теореме Пифагора, они представляют
собою длины сторон некоторого
прямоугольного треугольника; если они
к тому же суть числа целые, их называют
пифагоровыми . Вот ещё пример
пифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникает
естественный вопрос, а что будет, если
в соотношении, определяющем пифагоровы
числа, заменить возведение в квадрат
на возведение в куб, в четвёртую, пятую
и так далее степень? Можно ли привести
пример таких целых положительных чисел
a, b, c, чтобы выполнялось равенство
a 3+ b 3= c 3, или равенство
a 4+ b 4= c 4, или a 5+ b
5= c 5 и т. п.? Любую тройку целых
положительных чисел, для которых
выполняется одно из указанных равенств,
условимся называть тройкой Ферма
.
Только
что сформулированным вопросом
заинтересовался великий французский
математик середины XVII века Пьер Ферма
(вообще-то он занимался математикой, а
заодно и оптикой, как хобби: служебные
его обязанности состояли в заведовании
отделом петиций тулузского парламента).
Поиски требуемых примеров ни к чему не
привели, и Ферма пришёл к убеждению, что
их не существует. Утверждение о
несуществовании троек Ферма принято
называть Великой теоремой Ферма .
Строго говоря, его следовало бы называть
Великой гипотезой Ферма , поскольку
автор утверждения не оставил нам его
доказательства. Всё, что Ферма оставил
потомкам на эту тему, - это две латинские
фразы, написанные им около 1637 года на
полях изданной в 1621 году в Париже на
двух языках, греческом и латинском,
«Арифметики» древнегреческого математика
Диофанта. Указанное издание обладало
широкими полями, и когда у Ферма появлялись
те или иные мысли по ходу чтения, он
записывал их на этих полях. И вот какие
две фразы он, в частности, написал -
приводим эти фразы в переводе: «Невозможно
для куба быть записанным в виде суммы
двух кубов, или для четвёртой степени
быть записанной в виде суммы двух
четвёртых степеней, или вообще для
любого числа, которое есть степень
больше двух, быть записанным в виде
суммы двух таких же степеней. Я нашёл
поистине удивительное доказательство
этого предложения, но оно не уместится
на полях [hanc marginis exiguitas non caperet;