Есть идея! (Гарднер) - страница 118
Говоря о символах, мы имеем в виду не только буквы, но и цифры. Числовой палиндром — это число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Одна знаменитая гипотеза в теории чисел так и называется — «гипотеза о палиндромах». Возьмем любое число в десятичной системе счисления, вывернем его «наизнанку», записав от конца к началу, и сложим оба числа. То же самое проделаем с суммой и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока не получим палиндром. Например, число 68 порождает палиндром в 3 шага:
Гипотеза о палиндромах состоит в том, что независимо от того, какое число выбрано, после конечного числа шагов вы непременно получите палиндром.
Никто не знает, верна ли эта гипотеза. Доказано, что для двоичной системы и всех систем счисления с основанием, равным любой степени двойки, эта гипотеза не верна. Для систем счисления с другими основаниями доказать гипотезу о палиндромах пока не удалось.
Наименьшее десятичное число, которое может служить контрпримером, опровергающим гипотезу о палиндромах, равно, по-видимому, 196.
Математики проделали на ЭВМ сотни тысяч шагов, но получить палиндром так и не удалось, хотя никем не доказано, что он никогда не появится.
Математики исследовали также простые числа-палиндромы (которые делятся на 1 и на самих себя). Многие считают, что существует бесконечно много простых чисел-палиндромов, но эта гипотеза также пока не доказана. Высказывалось предположение и о том, что существует бесконечно много таких пар чисел-палиндромов, как, например, 30103 и 30203, в которых средние цифры отличаются на 1, а все остальные цифры совпадают.
Простое число-палиндром должно иметь нечетное число знаков: каждое палиндромное число с четным числом знаков кратно 11 и, следовательно, не может быть простым. Можете ли вы доказать, что палиндромное число с четным числом знаков всегда делится на 11? (Указание: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих в разрядах с четными номерами, и суммой цифр, стоящих в разрядах с нечетными номерами, кратна 11.)
Много палиндромов среди квадратов, например 11 × 11 = 121. Квадраты оказываются палиндромами гораздо чаще, чем выбранные наугад целые числа. То же можно сказать и о кубах. Более того, если куб — палиндром, то можно почти с уверенностью сказать, что и кубический корень из него также будет палиндромом (например, 11 × 11 × 11 = 1331). Поиск палиндромов среди четвертых степеней, проведенный с помощью ЭВМ, пока не дал ни одного палиндрома, корень четвертой степени из которого не был бы также палиндромом. Поиск палиндромов среди пятых степеней пока оказался безуспешным. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел-палиндромов вида