Есть идея! (Гарднер) - страница 33
Задача о разрезании пирога или сыра становится еще более интересной, когда линии разреза не пересекаются в одной точке. Нетрудно видеть, что начиная си = 3 при таком способе разрезания исходный круг будет распадаться более чем на 2n частей (пока нас не интересует, будут ли эти части конгруэнтными или равновеликими). На рис. 3 показано, каким образом достигается максимальное число частей при числе разрезов n, равном 1, 2, 3 и 4 (круг делится соответственно на 2, 4, 7 и 11 частей).
Числа 2, 4, 7 и 11 образуют отрезок известной последовательности с общим членом, задаваемым формулой
где n — число разрезов. Полагая п = 0, 1, 2, …, 9, получаем первые десять членов последовательности: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46…. Первые разности равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, вторые разности равны 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … . Постоянство вторых разностей основательно подкрепляет нашу догадку о тем, что общий член этой последовательности квадратичен по n.
Мы говорим о догадке потому, что формула, получаемая при помощи конечных разностей, может оказаться «ограниченно применимой» — порождать лишь часть членов бесконечной последовательности. Применимость формулы «конечно-разностного происхождения» ко всем без исключения членам числовой последовательности каждый раз необходимо доказывать особо. В случае круглого пирога такое доказательстве действительно существует. Его нетрудно найти, если воспользоваться методом математической индукции.
После этих замечаний, носящих сугубо предварительный характер, вы достаточно вооружены, чтобы смело вступить на неизведанную территорию и проложить по ней десятки увлекательных маршрутов в самых разных направлениях, многие из которых приводят к необычным числовым последовательностям, формулам и доказательствам методом математической индукции. Определить максимальное число частей, на которые можно разделить:
1) подковообразный пирог n прямыми;
2) головку сыра в форме шара или цилиндра n плоскими разрезами;
3) пирог n круговыми разрезами, проводимыми специальным ножом;
4) пирог, испеченный в форме кольца (с круглым отверстием посредине) n прямыми;
5) бублик (тор) n плоскими разрезами.
Во всех этих задачах предполагается, что разрезы проводятся одновременно. Как изменятся ответы, если будет разрешено проводить разрезы последовательно и после каждого разреза перекладывать образовавшиеся куски?
Невидимые размеры
В центре городского парка находится, круглая площадка для игр. Магистрат вознамерился устроить на этой площадке бассейн в форме ромба.
Мэр города Дорис Райт, рассмотрев представленные архитектором проекты, высказала свое мнение.