Есть идея! (Гарднер) - страница 34
Мэр Райт. Мне нравится вот этот проект бассейна, облицованного красным кафелем. Какова длина каждой стороны ромба?
Вопрос мэра поставил в тупик архитектора Фрэнка Лойда Ронга.
Мистер Ронг. Сейчас прикину. Расстояние от A до B равно 5 м, а расстояние от B до C — 4 м. По этим данным можно найти длину стороны BD, например вычислить ее по теореме Пифагора.
Мистер Ронг приступил было к вычислениям, как вдруг достопочтенную миссис Райт осенило.
Мэр Райт. Есть идея! Длина стороны бассейна — ровно 9 м. Тут и считать нечего.
Мистер Ронг. Вы абсолютно правы!
Что позволило мэру и архитектору с такой легкостью найти длину стороны бассейна?
Миссис Райт заметила, что каждая сторона бассейна совпадает с диагональю некоего прямоугольника, другая диагональ которого равна радиусу круглой площадки для игр. Диагонали прямоугольника равны. Следовательно, длина стороны бассейна равна радиусу круглой площадки для игр. А поскольку этот радиус составляет 5 + 4 = 9 м, то и длина каждой стороны бассейна равна 9 м. Теорема Пифагора не понадобилась.
Вы сможете лучше оценить все остроумие догадки миссис Райт, если попытаетесь вычислить длину стороны бассейна более традиционным способом. Если вы захотите воспользоваться только теоремой Пифагора и подобием треугольников, то решение получится чрезмерно громоздким. Известная из планиметрии теорема о пересекающихся хордах, гласящая, что произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, одинаково для всех хорд, пересекающихся в данной точке, позволяет несколько сократить решение. Применяя эту теорему, вы числите высоту прямоугольного треугольника (составляющего четверть бассейна), равную √56. Затем по теореме Пифагора, зная два катета, вы найдете гипотенузу, равную 9 м.
С задачей о бассейне, так изящно решенной миссис Райт, тесно связана знаменитая задача о водяной лилии, встречающаяся в одном из произведений Лонгфелло. Когда стебель лилии стоит вертикально, цветок ее на 10 см возвышается над поверхностью озера. Если лилию оттянуть в сторону, не давая стеблю провиснуть, то цветок ее коснется воды в точке, отстоящей на 21 см от того места, в котором выходил из воды прямостоящий стебель. Какова глубина озера в том месте, где растет лилия?
Задачу Лонгфелло нетрудно решить, если начертить схему, изображенную на рис. 4. По существу эта схема ничем не отличается от проекта бассейна, представленного архитектором Ронгом. Требуется определить длину отрезка x. Как и задачу о длине стороны бассейна, задачу о лилии можно решить разными способами. Но если воспользоваться теоремой о пересекающихся хордах, то ответ получается особенно легко и быстро.