Есть идея! (Гарднер) - страница 61
На рис. 1 в левой верхней карточке выписаны (в десятичной системе) все числа, у которых в последнем столбце их двоичной записи стоит единица. На карточке внизу справа выписаны все числа, у которых единица стоит в первом столбце их двоичной записи. Аналогичным образом устроены и остальные карточки.
Карточки для отгадывания чисел можно составлять на основе не только двоичной, но и любой другой системы счисления. Например, с помощью рис. 3 можно составить карточки для отгадывания любого числа от 1 до 26 на основе троичной системы. Над каждым столбцом справа указана соответствующая степень числа 3 (именно она должна стоять в левом верхнем углу карточки). Если в столбце стоит единица, то число вписывается в нужную карточку один раз. Если в столбце стоит двойка, то число вписывается в карточку дважды.
Три карточки для отгадывания любого числа от 1 до 26, составленные на основе этого правила, приведены на рис. 4.
Пусть кто-нибудь задумает любое число от 1 до 26. Попросите его отобрать карточки с задуманным числом и, возвращая их вам, назвать, сколько раз оно встречается на каждой из них. При суммировании ключевые числа тех карточек, на которых задуманное число встречается дважды, необходимо удвоить.
Возможно, вы захотите расширить набор с трех до шести троичных карточек. Как мы уже знаем, шесть двоичных карточек позволяют отгадывать любое число от 1 до 63. Шесть троичных карточек позволяют отгадывать любое число от 1 до 728. Теперь уже вам ясно, каким образом можно составить карточки для отгадывания чисел на основе системы счисления с любым основанием больше 3. Например, если мы остановим свой выбор на системе счисления с основанием 4, то одни числа будут встречаться на карточках по одному разу, другие — дважды, а третьи — трижды, и при суммировании вам придется одни ключевые числа брать сами по себе (с коэффициентом 1), другие — удвоенными, а третьи — утроенными.
Четверичные карточки показывают, что «троичная сортировка» в некоторых отношениях превосходит двоичную. Если мы будем последовательно делить множество не на 2, а на 3 части и каждый раз нам будут говорить, какая из частей содержит выделенный элемент, то найти его можно, задавая меньше вопросов. Разумеется, сами вопросы становятся более сложными: если раньше они требовали «двоичных» ответов («да» или «нет»), то теперь ответ на каждый вопрос должен быть «троичным».
Необычайные возможности, таящиеся в троичной сортировке, наглядно демонстрирует следующий карточный фокус. Пусть кто-нибудь из зрителей задумает любую из 3³ = 27 отобранных вами карт. Сдайте отобранные карты в три стопки, переворачивая каждую карту перед тем, как выложить ее на стол, вверх лицом, попросите зрителя указать, в какой из стопок находится задуманная им карта, после чего сложите стопки вместе и повторите всю процедуру еще дважды. Сложив стопки в третий раз, попросите зрителя назвать вслух задуманную карту и, сняв верхнюю карту, покажите ее всем зрителям. У вас в руках окажется задуманная карта! Фокус можно показывать сколько угодно раз, не опасаясь «осечек» — их нет и быть не может!