Лекции по физике 4 (Фейнман) - страница 12
Скалярное произведение w·v>ц.м. легко выразить через v>1 и v>2:
Займемся сначала v>1·v>2; чему равно среднее v>1·v>2? Иначе говоря, чему равно среднее проекции скорости одной молекулы на направление скорости другой молекулы? Ясно, что вероятности движения молекулы как в одну сторону, так и в противоположную одинаковы. Среднее значение скорости v>2в любом направлении равно нулю. Поэтому и в направлении v>1 среднее значение v>2 тоже равно нулю. Итак, среднее значение v>1·v>2 равно нулю! Следовательно, мы пришли к выводу, что среднее т>1v>2>1должно быть равно т>2v>2>2. Это значит, что средние кинетические энергии обеих молекул должны быть равны:
>1/>2m>1v>2>1=>1/>2m>2v>2>2. (39.21)
Если газ состоит из атомов двух сортов, то можно показать (и мы даже считаем, что нам удалось это сделать), что средние кинетические энергии атомов каждого сорта равны, когда газ находится в состоянии равновесия. Это означает, что тяжелые атомы движутся медленнее, чем легкие; это легко проверить, поставив эксперимент с «атомами» различных масс в воздушном желобе.
Теперь сделаем следующий шаг и покажем, что если в ящике имеются два газа, разделенные перегородкой, то по мере достижения равновесия средние кинетические энергии атомов разных газов будут одинаковы, хотя атомы и заключены в разные ящики. Рассуждение можно построить по-разному. Например, можно представить, что в перегородке проделана маленькая дырочка (фиг. 39.4), так что молекулы одного газа проходят сквозь нее, а молекулы второго слишком велики и не пролезают.
Фиг. 39. 4. Два газа в ящике, разделенном полупроницаемой перегородкой.
Когда установится равновесие, то в том отделении, где находится смесь газов, средние кинетические энергии молекул каждого сорта сравняются. Но ведь в числе проникших сквозь дырочку молекул есть и такие, которые не потеряли при этом энергии, поэтому средняя кинетическая энергия молекул чистого газа должна быть равна средней кинетической энергии молекул смеси. Это не очень удовлетворительное доказательство, потому что ведь могло и не быть такой дырочки, сквозь которую пройдут молекулы одного газа и не смогут пройти молекулы другого.
Давайте вернемся к задаче о поршне. Можно показать, что кинетическая энергия поршня тоже должна быть равна >1/>2m>2v>2>2. Фактически кинетическая энергия поршня связана только с его горизонтальным движением. Пренебрегая возможным движением поршня вверх и вниз, мы найдем, что горизонтальному движению соответствует кинетическая энергия >1/>2m>2v>2>2>x. Но точно так же, исходя из равновесия на другой стороне, можно показать, что кинетическая энергия поршня должна быть равна