Лекции по физике 4 (Фейнман) - страница 18

/_>2kT, передают ее через стержень верхним шарикам и встряхивают их; верхние шарики в свою очередь будут встряхивать соприкасающиеся с ними наверху молекулы. В конце концов, конечно, температура на разных высотах гра­витационного поля станет одинаковой.

Нам предстоит найти закон, по которому происходит раз­режение атмосферы по мере подъема вверх, когда температура на всех высотах одинакова. Если N — полное число молекул в объеме Vгаза с давлением Р, то PV=NkT, или Р=nkT, где n — число молекул в единичном объеме. Иначе говоря, если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот: давление и плотность пропорциональ­ны друг другу, ведь температура в нашем случае постоянна. Но давление не может быть постоянным: с уменьшением высоты оно должно возрастать, потому что нижнему слою приходится, так сказать, выдерживать вес всех расположенных сверху ато­мов. Теперь можно определить, как давление меняется с высо­той. Если на высоте hвыделить площадку единичной площади, то на эту площадку снизу будет действовать сила, равная давле­нию Р. Если бы не было силы тяжести, то на площадку на вы­соте h+dhдействовала бы сверху вниз точно такая же сила. Но в нашем случае это не так: действующая снизу сила должна превосходить силу, действующую сверху, на величину, равную весу газа, заключенного между слоями hи h+dh. На каждую молекулу действует сила тяжести mg, где g— ускорение силы тяжести. В интересующем нас слое находится ndhмолекул. Это приводит к такому дифференциальному уравнению: P_>h>+>dh-P_>h=dP=-mgndh. Поскольку Р=nkT, а Т—посто­янная, то можно избавиться или от Р, или от n. Исключим из уравнений Р; тогда получим

Это дифференциальное уравнение говорит нам, как убывает плотность по мере увеличения высоты.

Мы располагаем теперь дифференциальным уравнением для плотности частиц n, которая меняется с высотой, но ме­няется так, что производная плотности пропорциональна себе самой. Функция, производная которой пропорциональна себе самой,— это экспоненциальная функция и, значит, решение дифференциального уравнения имеет вид

n=n_>0e^>->mgh>/>kT. (40.1)

Здесь постоянная интегрирования n_>0— плотность на высоте h=0 (которую можно задать произвольно); с высотой плот­ность экспоненциально убывает.

Заметим, что если имеется несколько сортов молекул с разными массами, то число их убывает по разным экспонентам. Число более тяжелых молекул убывает с высотой быстрее, чем число легких молекул. Поэтому можно ожидать, что раз кислород тяжелее азота, то по мере подъема вверх относитель­ное содержание азота в атмосфере (смеси азота и кислорода) будет возрастать. В нашей атмосфере, во всяком случае на доступных высотах, этого фактически не происходит, ибо вслед­ствие воздушных возмущений газы вновь перемешиваются.