Загадка, однако, искусственная. Формулируя ее, предполагают, что индивидуальные сознания, похожие на наши, т. е. имеющие те же умственные навыки и привычные к тем же логическим операциям, выработали систему чисел для этих операций, что для данной системы они должны были выбрать основу, наиболее соответствующую их опыту. Такое предположение, однако, ни на чем не основано. И действительно, системы счисления, как и языки, от которых их не следует отделять, — социальные явления, зависящие от коллективного мышления. Во всяком обществе это мышление тесно связано с типом данного общества и его учреждениями. В низших обществах мышление — мистическое и пра-логическое: оно получает свое выражение в языках, в которых отвлеченные понятия, сходные с нашими, не выявляются почти никогда. Эти языки точно так же не имеют имен числительных в собственном смысле слова. Они употребляют слова, исполняющие функцию чисел, или, вернее, они прибегают к помощи совокупностей-чисел, т. е. конкретных представлений, в которых число еще не дифференцировалось. Короче говоря, каким бы парадоксальным оно ни показалось, но тем не менее правильно заключение, что в низших обществах человек в течение долгих веков умел считать до того, как он имел числа.
Если это так, то на каком основании можно принимать ту или иную основу системы счисления за более естественную, чем всякую другую? Ведь в действительности каждая принятая основа счисления имеет свое основание в коллективных представлениях данной социальной группы. На самой низкой ступени, какую только мы можем наблюдать там, где счисление почти чисто конкретное, совершенно отсутствует как основа, так и система счисления. Последовательные движения от мизинца левой руки к мизинцу правой, при постепенном переходе от пальцев левой руки к запястью, локтю и т. д. на левой стороне тела и в обратном порядке по правой стороне тела вплоть до мизинца правой руки не ритмичны, они не имеют ударяемых и неударяемых тактов, не останавливаются на той части тела, которая соответствует 2, 5 или 10. Поэтому Гэддон справедливо говорит, что произносимые слова — названия частей тела, а не имена числительные. Последние возникают только тогда, когда в результате правильной периодичности появляется ритм в последовательных движениях.
Действительно, периодичность чаще всего определяется числом пальцев на руках и на ногах. Иначе говоря, основа «пять» наиболее распространена. Но нельзя быть уверенным, что везде, где мы встречаем эту основу, она имела именно такое происхождение, кажущееся нам столь естественным. Почти все первобытные пользуются пальцами для счета, и часто те, которые не знают пятеричной системы, пользуются пальцами так же хорошо, как и те, которым известно ее применение. Изучение «ручных понятий» весьма поучительно в этом отношении. Вот, например, как считает индеец дене-динджие (Канада). «Вытянув руку (всегда левую) с ладонью, обращенной к лицу, он сгибает мизинец, говоря: „Один — кончик загнут или на кончике“. Затем он загибает безымянный палец, говоря: „Два — загнуто снова“. Дальше он загибает средний палец, прибавляя: „Три — середина загнута“, затем указательный, наконец, показывая большой палец, он говорит: „Четыре — есть только этот“. Далее он раскрывает кулак и говорит: „Пять — это в порядке на моей руке, или на руке, или моя рука“. Дальше индеец, держа вытянутую левую руку, на-которой три пальца сдвинуты вместе, отделяет от них большой и указательный пальцы, к которым приближает большой палец правой руки и говорит: „Шесть — по три с каждой стороны — три да три“. Он сдвигает дальше четыре пальца левой руки, подносит к большому пальцу левой руки большой палец и указательный правой и говорит: „Семь — на одной стороне 4“, или: „Еще три загнуто“, или: „Три с каждой стороны и один посередине“. Он прикладывает три пальца правой руки к отделенному большому пальцу левой руки и, получив таким образом две группы по четыре пальца, говорит: „Четыре“ или: „Четыре с каждой стороны“. Показывая затем мизинец правой руки, который один остается загнутым, он говорит: „Девять — есть еще один внизу“, или: „Одного не хватает“, или: „Мизинец остается внизу“. Наконец, хлопнув руками и сложив их, индеец говорит: „10 — с каждой стороны полно“ или: „Сочтено, сосчитано“. Затем он опять начинает ту же процедуру, говоря: „Полный счет и один и два и — три и т. д.“».