В свое время мы написали этот задачник с замечательным педагогом — Евгением Борисовичем Ваховским. При подготовке данного издания я стремился сохранить уважительное отношение к нашему читателю, которое всегда было для нас обязательным требованием.
Я желаю каждому, кто воспользуется этой книгой, успехов и надеюсь, что вы пришлете свои замечания, пожелания, а также возможные уточнения и дополнения в адрес издательства.
А. Рывкин
Способы доказательных рассуждений в математике и в других научных дисциплинах различны. Естественным для человеческого сознания является индуктивное мышление, т. е. накопление фактов и последующее их обобщение в рамках теории. В математике все не так. Математика — наука дедуктивная, в ней от общих понятий переходят к частным, устанавливая свойства соответствующих им объектов.
Исходные положения математической теории как бы заранее фиксированы. Это базовые понятия, которые не могут быть математически определены через другие, более широкие понятия, так как сами являются строительными элементами будущей теории (точка, прямая, плоскость, натуральное число). Отношения между базовыми понятиями, принимаемые как истинные, называют аксиомами. Строго говоря, сами базовые понятия вместе с аксиомами, которые их связывают, можно воспринимать как общее развернутое определение основных базовых понятий. (Это не исключает последующего пополнения списка базовых понятий и аксиом.)
Поясним, что мы понимаем под математическим определением и чем оно отличается от других определений.
Иногда говорят, что натуральные числа — это числа, возникающие в процессе счета. Или же, что точка — трехмерный геометрический объект, не имеющий длины, ширины и высоты. Дают и такое определение числа 2: 2 — это то общее, что присуще всем группам предметов, состоящих из двух элементов.
Такие определения нельзя считать математическими.
Математическое определение непременно строится по принципу выделения частного понятия из общего с помощью конкретного отличительного признака. Так поступают в биологии, где род — более широкое понятие, чем вид, а определение вида дается через определение рода (родовое понятие) путем указания видового отличия. Математическое определение должно непременно содержать и родовое понятие, и видовое отличие.
Приведенное выше определение числа 2 этому требованию не удовлетворяет, ибо слова «то общее» нельзя считать родовым понятием — оно не очерчивает конкретное множество объектов.
Определения натурального числа и точки на первый взгляд имеют форму математических определений.