Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы (Рывкин, Ваховский) - страница 7
Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему
(√a)² = a?
Ответ. По определению квадратного корня.
Пример 2. Почему
Ответ. По определению логарифма.
Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а ≥ 0) называют неотрицательное число √a , квадрат которого равен а.
А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а ≠ 1) называют такое число log>aN, что основание а в степени log>aN равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.
Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?
Ответ. По определению параллельных прямых.
Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?
Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.
Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?
Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.
Задачи
Глава 1
Геометрические задачи на плоскости
Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; m>а — медиана стороны а; l>A — биссектриса угла А; h>a — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.
Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.
Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.
Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.
Площадь четырехугольника: S = ½ d>1d>2 sin α, где d>1 и d>2 — длины его диагоналей, а α — угол между ними.
При решении планиметрических задач приходится применять производные пропорции.
Если
Если
1.1. Вокруг правильного треугольника ABC описана окружность O радиусом R. Окружность O>1 касается двух сторон AB и BC треугольника и окружности O. Найдите расстояние от центра окружности О>1 до вершины